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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 8

Calcule a integral.

int t sin t cos t d t

Passo 1

Bora calcular a integral:

int t sin t cos t d t

Mas qual estratégia vamos usar?! Podemos começar tentando simplificar a nossa integral. Procurando nas identidades trigonométricas vemos que:

sin 2 theta = 2 sin theta cos theta

Dessa forma podemos dizer que:

int t sin t cos t d t = (1)/(2) int t sin 2 theta d t

Passo 2

Podemos resolver essa integral utilizando o método da integral por partes, lembrando que existe uma ordem de prioridade pra escolha de u :

Olhando a nossa integral teremos:

int t sin 2 theta d t

u = t -> d u = d t

d v = sin 2 t d t -> v = - (1)/(2) cos 2 t

Passo 3

A fórmula da integral por partes é:

int u d v = u v - int v d u

Portanto:

int t sin 2 t d t = (1)/(2) [- (1)/(2) t cos 2 t - int - (1)/(2) cos 2 t d t]

Calculando:

int t sin 2 t d t = (1)/(2) [- (1)/(2) t cos 2 t + (1)/(2) int cos 2 t d t]

Para o cos 2 t , fazemos uma substituição onde u = 2 t e d u = 2 d t , logo:

int t sin 2 t d t = (1)/(2) [- (1)/(2) t cos 2 t + (1)/(2) int (1)/(2) cos u d u]

int t sin 2 t d t = (1)/(2) [- (1)/(2) t cos 2 t + (1)/(4) int cos u d u]

int t sin 2 t d t = (1)/(2) [- (1)/(2) t cos 2 t + (1)/(4) sin 2 t]

int t sin 2 t d t = - (1)/(4) t cos 2 t + (1)/(8) sin 2 t + C

Prontinho!!

Resposta

int t sin 2 t d t = - (1)/(4) t cos 2 t + (1)/(8) sin 2 t + C

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