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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 70

Calcule a integral int (1)/(1 + 2 e^x - e^(- x)) d x .

Passo 1

Bora resolver a integral:

int (1)/(1 + 2 e^x - e^(- x)) d x

Para isso vamos utilizar integral por substituição, fazendo:

u = e^x -> x = ln u

d x = (d u)/(u)

Passo 2

Aplicando na integral:

int (1)/(1 + 2 e^x - e^(- x)) d x = int ((d u)/(u))/(1 + 2 u - (1)/(u))

= int (d u)/(2 u^2 + u - 1)

Separando o quadrado irredutível do denominador em duas frações distintas:

= int ((2)/(3))/(2 u - 1) - ((1)/(3))/(u + 1) d u

Passo 3

Resolvendo a integral:

= int ((2)/(3))/(2 u - 1) - ((1)/(3))/(u + 1) d u

= (1)/(3) l n |2 u - 1| - (1)/(3) l n |u + 1| + C

Passo 4

Voltando a variável x :

(1)/(3) l n |2 u - 1| - (1)/(3) l n |u + 1| + C = (1)/(3) l n |2 e^x - 1| - (1)/(3) l n |e^x + 1| + C

Resposta

int (1)/(1 + 2 e^x - e^(- x)) d x = (1)/(3) l n |2 e^x - 1| - (1)/(3) l n |e^x + 1| + C

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