Calcule a integral ∫ π 6 π 3 s e n θ c o t g θ s e c θ d θ .

Passo 1

Sabemos que:

c o t g θ = 1 t g θ = c o s θ s e n θ

s e c θ = 1 c o s θ

Substituindo essas relações na integral, teremos:

∫ π 6 π 3 s e n θ c o s θ s e n θ 1 c o s θ d θ

Reorganizando tudo ficará:

∫ π 6 π 3 c o s 2 θ d θ

Lembrando que:

c o s 2 θ = 1 + c o s 2 θ 2

Substituindo então na integral:

∫ π 6 π 3 1 + c o s 2 θ 2 d θ

Fazendo a integral da soma é a soma das integrais, temos:

∫ π 6 π 3 1 2 d θ + ∫ π 6 π 3 c o s 2 θ 2 d θ

É necessário fazer substituição do tipo u.du na segunda integral, logo:

u = 2 θ

d u = 2 d θ

θ = π 3 → u = 2 π 3

θ = π 6 → u = π 3

Voltando a integral:

1 2 ∫ π 6 π 3 d θ + 1 2 ∫ π 3 2 π 3 cos ⁡ u   d u 2

1 2 π 3 - π 6 + 1 4 s e n 2 π 3 - s e n π 3

π 12

Resposta

π 12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados