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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 38

Calcule a integral int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) (s e n theta c o t g theta)/(s e c theta) d theta .

Passo 1

Sabemos que:

c o t g theta = (1)/(t g theta) = (c o s theta)/(s e n theta)

s e c theta = (1)/(c o s theta)

Substituindo essas relações na integral, teremos:

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) (s e n theta (c o s theta)/(s e n theta))/((1)/(c o s theta)) d theta

Reorganizando tudo ficará:

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) c o s^2 theta d theta

Lembrando que:

c o s^2 theta = (1 + c o s 2 theta)/(2)

Substituindo então na integral:

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) (1 + c o s 2 theta)/(2) d theta

Fazendo a integral da soma é a soma das integrais, temos:

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) (1)/(2) d theta + int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) (c o s 2 theta)/(2) d theta

É necessário fazer substituição do tipo u.du na segunda integral, logo:

u = 2 theta

d u = 2 d theta

theta = (pi)/(3) -> u = (2 pi)/(3)

theta = (pi)/(6) -> u = (pi)/(3)

Voltando a integral:

(1)/(2) int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) d theta + (1)/(2) int_((pi)/(3))^((2 pi)/(3)) cos u (d u)/(2)

(1)/(2) ((pi)/(3) - (pi)/(6)) + (1)/(4) (s e n (2 pi)/(3) - s e n (pi)/(3))

(pi)/(12)

Resposta

(pi)/(12)

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