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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 12

Calcule a integral:

int_0^1 x sqrt(x^2 + 4) d x

Passo 1

Opaaa, bora lá! Temos que calcular a integral:

int_0^1 x sqrt(x^2 + 4) d x

Aqui a gente vai usar o método da substituição simples. Temos que olhar pra integral e pensar “o que que eu posso substituir por u aqui que facilitaria a conta?!”. (Não é só isso, esse é só o primeiro passo pra ajudar na escolha).

Nesse caso é:

u = x^2 + 4

Precisamos achar o d u então derivamos:

(d u)/(d x) = 2 x -> d x = (1)/(2 x) d u

Agora substituímos:

int x sqrt(x^2 + 4) d x = int x sqrt(x^2 + 4) ((1)/(2 x) d u)

= (1)/(2) int sqrt(u) d u

Viu como a gente pode cortar o x da função com o x que estava em d x = (1)/(2 x) d u ?! Por isso pro u escolhido ser bom a sua derivada também deve estar dentro da função!

Passo 2

Arrasamos na escolha do u , agora precisamos atualizar os limites de integração:

u_i n f e r i o r = 0 + 4 = 4

u_s u p e r i o r = 1 + 4 = 5

Assim temos:

(1)/(2) int_4^5 sqrt(u) d u

Que é o mesmo que:

(1)/(2) int_4^5 u^(1 // 2) d u

Passo 3

Agora vamos integrar:

(1)/(2) int_4^5 u^(1 // 2) d u = (1)/(2) [(u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1)]_4^5

= (1)/(2) [(2)/(3) u^((3)/(2))]_4^5

= (1)/(3) [u^((3)/(2))]_4^5

Aplicando os limites de integração:

(1)/(3) [u^((3)/(2))]_4^5 = (1)/(3) [5^((3)/(2)) - 4^((3)/(2))]

= (1)/(3) [sqrt(5^3) - sqrt(4^3)]

Simplificando:

= (1)/(3) (5 sqrt(5) - 8)

Prontinhoo!

Resposta

int_0^1 x sqrt(x^2 + 4) d x = (1)/(3) (5 sqrt(5) - 8)

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