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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 22

Calcule a integral

int_0^1 sqrt(x^2 + 1) d x

Passo 1

Bora calcular mais uma integral?! Aqui temos:

int_0^1 sqrt(x^2 + 1) d x

vamos dizer que:

x = tan (theta)

Diferenciando, temos que :

d x = sec^2 (theta) d theta

Tudo beleza?! Vamos calcular os novos limites de integração e substituir isso na nossa integral:

theta_i n f e r i o r : 0 = tan (theta) :. theta = 0

theta_s u p e r i o r : 1 = tan (theta) :. theta = pi // 4

int_0^1 sqrt(x^2 + 1) d x = int_0^((pi)/(4)) sqrt(tan^2 (theta) + 1) sec^2 (theta) d theta

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sec^2 (theta) = tan^2 (theta) + 1 ?! Vamos usá-la, então, substituindo:

int_0^((pi)/(4)) sqrt(tan^2 (theta) + 1) sec^2 (theta) d theta = int_0^((pi)/(4)) sqrt(sec^2 (theta)) sec^2 (theta) d theta = int_0^((pi)/(4)) sec^3 (theta) d theta

Passo 2

Esta integral é tabelada, podemos obter o resultado facilmente:

int_0^((pi)/(4)) sec^3 (theta) d theta = (1)/(2) [sec (theta) tan (theta) + ln |sec (theta) + tan (theta)|]_0^((pi)/(4))

= (1)/(2) [sqrt(2) * 1 + ln (1 + sqrt(2)) - 0 - ln (1 + 0)]

= (1)/(2) [sqrt(2) + ln (1 + sqrt(2))]

Resposta

int_0^1 sqrt(x^2 + 1) d x = (1)/(2) [sqrt(2) + ln (1 + sqrt(2))]

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