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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 21

Calcule a integral

int_0^(0,6) (x^2)/(sqrt(9 - 25 x^2)) d x

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

x = (3)/(5) sin (theta)

Diferenciando, temos que

d x = (3)/(5) cos (theta) d theta

Tudo beleza?! Vamos calcular os novos limites de integração e substituir isso na nossa integral

theta_i n f e r i o r : 0 = (3)/(5) sin (theta) :. theta = 0

theta_s u p e r i o r : (3)/(5) = (3)/(5) sin (theta) :. theta = (pi)/(2)

int_0^(0,6) (x^2)/(sqrt(9 - 25 x^2)) d x = int_0^((pi)/(2)) ((9)/(25) sin^2 (theta))/(sqrt(9 - 9 sin^2 (theta))) * (3)/(5) cos (theta) d theta = (9)/(25) * (3)/(5) int_0^((pi)/(2)) (sin^2 (theta))/(sqrt(9 ( 1 - sin^2 (theta))) * cos (theta) d theta

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: s in^2 (theta) + cos^2 (theta) = 1 ?! Vamos usá-la, então, substituindo

(9)/(25) * (3)/(5) int_0^((pi)/(2)) (sin^2 (theta))/(sqrt(9 ( 1 - sin^2 (theta))) * cos (theta) d theta = (27)/(125) int_0^((pi)/(2)) (sin^2 (theta))/(sqrt(9 cos^2 (theta))) cos (theta) d theta = (27)/(125) int_0^((pi)/(2)) (sin^2 (theta))/(3 cos (theta)) cos (theta) d theta = (9)/(125) int_0^((pi)/(2)) sin^2 (theta) d theta

Passo 2

Precisamos lembrar de outra propriedade trigonométrica: sin^2 (theta) = (1)/(2) [1 - cos (2 theta)] d theta , então substituindo

(9)/(125) int_0^((pi)/(2)) sin^2 (theta) d theta = (9)/(125) * (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) (1 - cos (2 theta)) d theta = (9)/(250) [theta - (1)/(2) sin (2 theta)]_0^((pi)/(2)) = (9)/(250) [((pi)/(2) - 0) - 0] = (9 pi)/(500)

Resposta

int_0^(0,6) (x^2)/(sqrt(9 - 25 x^2)) d x = (9 pi)/(500)

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