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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 62

Calcule a integral int (d theta)/(1 + c o s^2 theta) .

Passo 1

Usando de um artifício matemático, multipliquemos pelo mesmo termo tanto o denominador quanto o numerador:

int (((1)/(c o s^2 theta)))/(1 + c o s^2 theta ((1)/(c o s^2 theta))) d theta

int (s e c^2 theta)/(1 + s e c^2 theta) d theta

Substituindo s e c^2 theta = t g^2 theta + 1 :

int (s e c^2 theta)/(2 + t g^2 theta) d theta

Fazendo uma substituição trigonométrica, teremos:

u = t g theta

d u = s e c^2 theta d theta

Voltando a integral:

int (1)/(u^2 + 2) d u

int (1)/(u^2 + sqrt(2)^2) d u

Resolvendo a integral temos que:

(1)/(sqrt(2)) t g^(- 1) ((u)/(sqrt(2))) + C

Voltando para as variáveis iniciais:

(1)/(sqrt(2)) t g^(- 1) ((t g theta)/(sqrt(2))) + C

Resposta

(1)/(sqrt(2)) t g^(- 1) ((t g theta)/(sqrt(2))) + C

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