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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.3 - Ex. 27

Calcule a integral

int sqrt(x^2 + 2 x) d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Iremos aqui resolver essa integral. Veja que de cara é difícil encontrar um método para resolver essa integral, nessas situações tentar a substituição trigonométrica pode ser uma boa opção.

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral.

Temos que

x^2 + 2 x = (x + 1)^2 - 1

Agora, sugiro dizer que

x + 1 = sec (theta)

Passo 2

Diferenciando, temos que

d x = sec (theta) tan (theta) d theta

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

int sqrt(x^2 + 2 x) d x = int sqrt((x + 1)^2 - 1) d x

= int sqrt(sec^2 (theta) - 1) sec (theta) tan (theta) d theta

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: tan^2 (theta) + 1 = sec^2 (theta) ?! Vamos usá-la, então, substituindo

int sqrt(sec^2 (theta) - 1) sec (theta) tan (theta) d theta

= int sqrt(tan^2 (theta)) sec (theta) tan (theta) d theta

= int tan^2 (theta) sec (theta) d theta

= int (sec^2 (theta) - 1) sec (theta) d theta

= int sec^3 (theta) d theta - int sec (theta) d theta

Passo 3

As integrais são tabeladas, então temos que

int sec^3 (theta) d theta - int sec (theta) d theta

= (1)/(2) sec (theta) tan (theta) + (1)/(2) ln |sec (theta) + tan (theta)| - ln |sec (theta) + tan (theta)| + c

= (1)/(2) sec (theta) tan (theta) - (1)/(2) ln |sec (theta) + tan (theta)| + c

Agora, precisamos encontrar uma expressão para sec (theta) e tan (theta) em função de x . Lembra que dissemos que

x + 1 = sec (theta)

Vimos também, durante a resolução da integral, que

sqrt(x^2 + 2 x) = tan (theta)

Passo 4

Agora que encontramos uma expressão para sec (theta) e tan (theta) em função de x , só falta substituirmos

(1)/(2) sec (theta) tan (theta) - (1)/(2) ln |sec (theta) + tan (theta)| + c

= (1)/(2) (x + 1) (sqrt(x^2 + 2 x)) - (1)/(2) ln |x + 1 + sqrt(x^2 + 2 x)| + c

Resposta

int sqrt(x^2 + 2 x) d x = (1)/(2) (x + 1) (sqrt(x^2 + 2 x)) - (1)/(2) ln |x + 1 + sqrt(x^2 + 2 x)| + c

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