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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 8

Calcule a integral

int (sqrt(x^2 - a^2))/(x^4) d x

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

x = a sec (theta)

Diferenciando, temos que

d x = a sec (theta) tan (theta) d theta

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

int (sqrt(x^2 - a^2))/(x^4) d x = int (sqrt(a^2 sec^2 (theta) - a^2))/(a^4 sec^4 (theta)) a sec (theta) tan (theta) d theta = int (sqrt(a^2 (sec^2 (theta) - 1)))/(a^3 sec^4 (theta)) sec (theta) tan (theta) d theta = int (a tan (theta))/(a^3 sec^4 (theta)) sec (theta) tan (theta) d theta = (1)/(a^2) int (tan^2 (theta))/(sec^3 (theta)) d theta = (1)/(a^2) int sin^2 (theta) cos (theta) d theta

Passo 2

Vamos resolver a integral pelo método da substituição

Seja u = sin (theta) , temos que d u = cos (theta) d theta . Substituindo, ficamos com

(1)/(a^2) int sin^2 (theta) cos (theta) d theta = (1)/(a^2) int u^2 d u = (1)/(3 a^2) u^3 + c = (1)/(3 a^2) sin^3 (theta) + c

Se lembra que dizemos que

x = a sec (theta)

Então

(x)/(a) = sec (theta) = (1)/(cos (theta))

cos (theta) = (a)/(x)

Sabemos também que

sqrt(x^2 - a^2) = a tan (theta)

Então, podemos encontrar uma expressão para o sin (theta)

(sin (theta))/(cos (theta)) = (sqrt(x^2 - a^2))/(a)

(sin (theta))/((a)/(x)) = (sqrt(x^2 - a^2))/(a)

sin (theta) (x)/(a) = (sqrt(x^2 - a^2))/(a)

sin (theta) = (sqrt(x^2 - a^2))/(x)

Passo 3

Agora, que encontramos uma epressão para o s in (theta) podemos substituir

(1)/(3 a^2) sin^3 (theta) + c = (1)/(3 a^2) ((sqrt(x^2 - a^2))/(x))^3 + c = ((x^2 - a^2)^((3)/(2)))/(3 a^2 x^3) + c

Resposta

int (sqrt(x^2 - a^2))/(x^4) d x = ((x^2 - a^2)^((3)/(2)))/(3 a^2 x^3) + c

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4. Calculef)int (x - 1)/(sqrt(2 x + 1)) d x
Calcule ∫ 1 - e x d x
Calcule ∫ xa r cs e nx d x
Calculeint sqrt(1 + sqrt(x)) d x
Com uma conveniente mudança de variável, transforme a integral dada numa do tipo ∫ m u + n 1 + u 2 d u ( m e n constantes) e calcule. ∫ x + 1 4 + x 2 d x