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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 18

Calcule a integral

int (d x)/([(a x)^2 - b^2]^((3)/(2)))

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

a x = b sec (theta)

x = (b)/(a) sec (theta)

Diferenciando, temos que

d x = (b)/(a) sec (theta) tan (theta) d theta

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

int (d x)/([(a x)^2 - b^2]^((3)/(2))) = int ((b)/(a) sec (theta) tan (theta))/([b^2 sec^2 (theta) - b^2]^((3)/(2))) d theta = int ((b)/(a) sec (theta) tan (theta))/([b^2 (sec^2 (theta) - 1)]^((3)/(2))) d theta

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sec^2 (theta) - 1 = tan^2 (theta) ?! Vamos usá-la, então, substituindo

int ((b)/(a) sec (theta) tan (theta))/([b^2 (sec^2 (theta) - 1)]^((3)/(2))) d theta = (b)/(a) int (sec (theta) tan (theta))/([b^2 tan^2 (theta)]^((3)/(2))) d theta = (b)/(a) int (sec (theta) tan (theta))/(b^3 tan^3 ( theta )) d theta = (1)/(a b^2) int (sec (theta))/(tan^2 (theta)) d theta = (1)/(a b^2) int (cos (theta))/(sin^2 (theta)) d theta = (1)/(a b^2) int csc (theta) cot (theta) d theta

Passo 2

Podemos resolver esta integral rapidamente porque ela é tabelada, então

(1)/(a b^2) int csc (theta) cot (theta) d theta = - (1)/(a b^2) csc (theta) + c

Precisamos agora encontrar uma expressão para csc (theta) em função de x , lembra que dizemos que

x = (b)/(a) sec (theta)

(a x)/(b) = (1)/(cos (theta))

Então

cos (theta) = (b)/(a x)

Da integral, descobrimos que

sqrt((a x)^2 - b^2) = b tan (theta)

Então

(sin (theta))/(cos (theta)) = (sqrt((a x)^2 - b^2))/(b)

Se multiplicarmos tudo pelo cos (theta)

sin (theta) = (sqrt((a x)^2 - b^2))/(b) * (b)/(a x)

sin (theta) = (sqrt((a x)^2 - b^2))/(a x)

Assim, encontramos a csc (theta) invertendo as frações

csc (theta) = (1)/(sin (theta)) = (a x)/(sqrt((a x)^2 - b^2))

Passo 3

Agora que encontramos uma expressão para csc (theta) , basta substituirmos no resultado da integral, ficamos com

- (1)/(a b^2) csc (theta) + c = - (1)/(a b^2) * (a x)/(sqrt((a x)^2 - b^2)) + c = - (x)/(b^2 sqrt((a x)^2 - b^2)) + c

Resposta

int (d x)/([(a x)^2 - b^2]^((3)/(2))) = - (x)/(b^2 sqrt((a x)^2 - b^2)) + c

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