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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.3 - Ex. 23

Calcule a integral

int sqrt(5 + 4 x - x^2) d x

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Estamos aqui em uma situação onde nenhum outro método de integração funcionou, então é valido tentar a integração pode substituição trigonométrica.

Temos que

5 + 4 x - x^2 = - (x^2 - 4 x - 4) + 9 = - (x - 2)^2 + 9

Agora, sugiro dizer que

x - 2 = 3 sin (theta)

Diferenciando, temos que

d x = 3 cos (theta) d theta

Passo 2

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

int sqrt(5 + 4 x - x^2) d x = int sqrt(9 - (x - 2)^2) d x

= int sqrt(9 - 9 sin^2 (theta)) * 3 cos (theta) d theta

= int sqrt(9 (1 - sin^2 (theta))) * 3 cos (theta) d theta

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sin^2 (theta) + cos^2 (theta) = 1 ?! Vamos usá-la, então, substituindo

int sqrt(9 (1 - sin^2 (theta))) * 3 cos (theta) d theta

= int sqrt(9 cos^2 (theta)) * 3 cos (theta) d theta

= int 9 cos^2 (theta) d theta

= 9 int cos^2 (theta) d theta

Passo 3

Precisamos lembrar de outra propriedade trigonométrica: cos^2 (theta) = (1)/(2) [1 + cos (2 theta)] d theta , então substituindo

9 int cos^2 (theta) d theta = (9)/(2) int (1 + cos (2 theta)) d theta

= (9)/(2) (theta + (1)/(2) sin (2 theta)) + c

= (9)/(2) theta + (9)/(4) sin (2 theta) + c

= (9)/(2) theta + (9)/(4) (2 sin (theta) cos (theta)) + c

= (9)/(2) theta + (9)/(2) sin (theta) cos (theta) + c

Agora, precisamos encontrar uma expressão para theta , sin (theta) e cos (theta) em função de x . Lembra que dizemos que

x - 2 = 3 sin (theta)

sin (theta) = (x - 2)/(3)

Temos que

theta = sin^(- 1) ((x - 2)/(3))

Da resolução do exercício, vimos que

sqrt(5 + 4 x - x^2) = 3 cos (theta)

cos (theta) = (sqrt(5 + 4 x - x^2))/(3)

Passo 4

Agora, so falta a gente substituir as expressões que encontramos para theta , sin (theta) e cos (theta)

(9)/(2) theta + (9)/(2) sin (theta) cos (theta) + c

= (9)/(2) sin^(- 1) ((x - 2)/(3)) + (9)/(2) * (x - 2)/(3) * (sqrt(5 + 4 x - x^2))/(3) + c

= (9)/(2) sin^(- 1) ((x - 2)/(3)) + (1)/(2) ( x - 2 ) sqrt(5 + 4 x - x^2) + c

Resposta

int sqrt(5 + 4 x - x^2) d x = (9)/(2) sin^(- 1) ((x - 2)/(3)) + (1)/(2) (x - 2) sqrt(5 + 4 x - x^2) + c

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No Exercício ∫ x 2 2 x - x 2d x , utilize uma substituição para transformar a integral em outra que você possa encontrar na tabela. Em seguida, calcule a integral.