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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.3 - Ex. 15

Calcule a integral

int_0^a x^2 sqrt(a^2 - x^2) d x

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos uma integral onde uma substituição ‘comum’ não funciona muito bem.

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA pr��tica você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral.

Como essa aqui, uma substituição simples não funciona, então irei lhe apresentar a substituição trigonométrica. O próprio livro tem uma tabela que ajuda bastante.

Passo 2

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

x = a sin (theta)

Diferenciando, temos que

d x = a cos (theta) d theta

Tudo beleza?! Vamos calcular os novos limites de integração e depois substituir na nossa integral

theta_i n f e r i o r : 0 = a sin (theta) :. theta = 0

theta_s u p e r i o r : a = a sin (theta) :. theta = (pi)/(2)

int_0^a x^2 sqrt(a^2 - x^2) d x = int_0^((pi)/(2)) a^2 sin^2 (theta) sqrt(a^2 - a^2 sin^2 (theta)) a cos (theta) d theta

= int_0^((pi)/(2)) a^2 sin^2 (theta) sqrt(a^2 ( 1 - sin^2 (theta)) a cos (theta) d theta

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sin^2 (theta) + cos^2 (theta) = 1 ?! Vamos usá-la, então, substituindo

int_0^((pi)/(2)) a^2 sin^2 (theta) sqrt(a^2 ( 1 - sin^2 (theta)) a cos (theta) d theta

= int_0^((pi)/(2)) a^2 sin^2 (theta) sqrt(a^2 cos^2 (theta)) a cos (theta) d theta

= int_0^((pi)/(2)) a^2 sin^2 (theta) * a cos (theta) * a cos (theta) d theta

= a^4 int_0^((pi)/(2)) sin^2 ( theta ) cos^2 ( theta ) d theta

Passo 3

Pra resolver esta integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

sin^2 (theta) cos^2 (theta) = (1)/(8) [1 - cos (4 theta)]

Então, substituindo

a^4 int_0^((pi)/(2)) sin^2 (theta) cos^2 (theta) d theta = (a^4)/(8) int_0^((pi)/(2)) (1 - cos (4 theta)) d theta

= (a^4)/(8) [theta - sin (4 theta)]_0^((pi)/(2))

= (a^4)/(8) [((pi)/(2) - 0) - (0 - 0)] = (a^4 pi)/(16)

Resposta

int_0^a x^2 sqrt(a^2 - x^2) d x = (pi a^4)/(16)

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