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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 19

Calcule a integral.

int_()^() z^3 e^z d z

Passo 1

Opa! Temos que calcular a seguinte integral:

int z^3 e^z d z

Para este caso vamos aplicar a técnica de integração por partes. Para isso precisamos dividir o argumento da integral em duas funções f ( z ) e g ( z ) respectivamente. Feito isso, aplicamos a fórmula para a integração por partes que é dada por :

int_()^() u d v = u v - int_()^() v d u

Ou de forma mais visível, fazemos:

int_()^() f (z) g ' (z) = f (z) g (z) - int_()^() f^' (z) g ( z )

Primeiro então, devemos definir quem vão ser nossas funções. É aconselhável escolher a função mais fácil de derivar para ser f ( z ) . Assim:

f (z) = z^3 e g ' (z) = e^z

Derivando f e integrando g ' , temos:

f (z) = z^3 => f^' (z) = 3 z^2

g^' (z) = e^z => g (z) = int_()^() e^z d z => a p l i c a m o s a s u b s t i t u i ç ã o u = z => d u = e^z d z

=> int_()^() e^u d u = e^u = e^z

Passo 2

Aplicando as funções e suas derivadas na fórmula citada no passo anterior, temos:

int_()^() z^3 e^z d z = z^3 e^z - int_()^() 3 z^2 e^z d z

Passo 3

Observe que teremos que aplicar a integração por partes novamente. Assim:

f_1 (z) = 3 z^2 e g_1 ' (z) = e^z

Derivando f e integrando g ' , temos:

f_1 (z) = 3 z^2 => f_1^' (z) = 6 z

g_1^' (z) = e^z => g (z) = int_()^() e^z d z => C o m o c a l c u l a d o n o p a s s o 1 => g_1 (z) = e^z

Então, podemos escrever que:

int_()^() 3 z^2 e^z d z = 3 z^2 e^z - int_()^() 6 z e^z d z

Passo 4

Observe que teremos que aplicar a integração por partes novamente. Assim:

f_2 (z) = 6 z e g_2 ' (z) = e^z

Derivando f e integrando g ' , temos:

f_2 (z) = 6 z => f_1^' (z) = 6

g_1^' (z) = e^z => g (z) = int_()^() e^z d z => C o m o c a l c u l a d o n o p a s s o 1 => g_1 (z) = e^z

Então, podemos escrever que:

int_()^() 6 z e^z d z = 6 z e^z - int_()^() 6 e^z d z = 6 z e^z - 6 e^z

Passo 5

Retomando a integral inicial e aplicando os resultados encontrados, temos:

int_()^() z^3 e^z d z = z^3 e^z - int_()^() 3 z^2 e^z d z + C = z^3 e^z - [3 z^2 e^z - int_()^() 6 z e^z d z] + C =

= z^3 e^z - [3 z^2 e^z - (6 z e^z - 6 e^z)] + C = z^3 e^z - 3 z^2 e^z + 6 z e^z - 6 e^z + C

Vale ressaltar que nós colocamos a constante somente no final ( na substituição dos valores da integral principal), pois cada integral indefinida geral uma constante e no final somamos essas constantes que resulta em outra constante, logo como não conhecemos essas constantes assumimos um valor C final para elas.

Resposta

z^3 e^z - 3 z^2 e^z + 6 z e^z - 6 e^z + C

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