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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 7

Calcule a integral.

int (x^2 + 2 x) c o s x d x

Passo 1

Opa! Nesse exercício iremos resolver a seguinte integral:

int (x^2 + 2 x) cos x d x

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

int u d v = (u v) - int v d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Na nossa integral a gente tem uma parte algébrica e uma trigonométrica. Pela ordem de prioridade teremos:

u = x^2 + 2 x

Derivamos pra achar d u :

(d u)/(d x) = 2 x + 2 -> d u = 2 x + 2 d x

E o que sobrou é d v :

d v = cos x d x

Integramos pra achar v :

int d v = int cos x d x

v = sin x

Agora a gente pode montar a integral:

int (x^2 + 2 x) cos x d x

int u d v = (u v) - int v d u

int (x^2 + 2 x) cos x d x = (x^2 + 2 x) sin x - int sin x (2 x + 2) d x

Show! Agora vamos lá! 😉

Passo 2

Agora a gente resolve a integral né?!

int sin x (2 x + 2) d x

Poxaa, e teremos que aplicar a integração por partes novamente. Assim:

U = 2 x + 2 e d V = sin x d x

Derivando U e integrando d V , temos:

U = 2 x + 2 => d U = 2

d V = s e n x => V = int sin x d x = - cos x

Então, podemos escrever que:

int sin x (2 x + 2) d x = ( 2 x + 2 ) ( - cos x ) - int 2 (- cos x) d x

= (2 x + 2) (- c o s x) + 2 s e n x + C

Passo 3

Agora sim, temos a integral:

- int 2 cos x d x

Essa a gente consegue resolver:

- int 2 cos x d x = - 2 sin x + C

Passo 4

Então temos que:

int sin x (2 x + 2) d x = (2 x + 2) (- cos x) + 2 sin x + C

Retomando a integral inicial e aplicando os resultados encontrados, temos:

int (x^2 + 2 x) cos x d x = (x^2 + 2 x) sin x - [(2 x + 2) (- cos x) + 2 sin x + C]

= (x^2 + 2 x) sin x + (2 x + 2) (cos x) - 2 sin x + C

= (x^2 + 2 x - 2) sin x + (2 x + 2) (cos x) + C

Prontinho!

Resposta

int (x^2 + 2 x) cos x d x = (x^2 + 2 x - 2) sin x + (2 x + 2) (cos x) + C

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