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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 14

Calcule a integral,

int_0^1 (d x)/((x^2 + 1)^2)

Passo 1

Olá, meu nobre e querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Veja bem, queremos aqui resolver essa integral indefinida. Vamos começar então pelo método mais elementar, e caso o mesmo não se mostre possível a gente vai pensando em outros métodos.

Nessa aqui, uma substituição simples não funciona, então irei lhe apresentar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Vamos fazer a substituição

x = t g u

d x = sec^2 u d u

Mudando os limites de integração,

x = 0 => u = 0

x = 1 => u = (pi)/(4)

Sendo assim,

int_0^1 (d x)/((x^2 + 1)^2) = int_0^((pi)/(4)) (sec^2 u d u)/((t g^2 u + 1)^2)

Sabendo que t g^2 u + 1 = sec^2 x

= int_0^((pi)/(4)) (sec^2 u d u)/(sec^4 u)

Cancelando alguns termos,

int_0^((pi)/(4)) (sec^2 u d u)/(sec^4 u)

= int_0^((pi)/(4)) (1)/(sec^2 u) d u = int_0^((pi)/(4)) cos^2 u d u

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica cos^2 u = (1)/(2) ( 1 + cos 2 u )

int_0^((pi)/(4)) cos^2 u d u = int_0^((pi)/(4)) (1)/(2) (1 + cos 2 u) d u

= (1)/(2) int_0^((pi)/(4)) d u + (1)/(2) int_0^((pi)/(4)) cos 2 u d u

Pela tabela,

(1)/(2) int_0^((pi)/(4)) d u + (1)/(2) int_0^((pi)/(4)) cos 2 u d u = (1)/(2) u (​|_0^((pi)/(4)) + (1)/(4) sen 2 u (​|_0^((pi)/(4))

Aplicando os limites de integração,

(1)/(2) u (​|_0^((pi)/(4)) + (1)/(4) sen 2 u (​|_0^((pi)/(4)) = (pi)/(8) + (1)/(4)

Resposta

int_0^1 (d x)/((x^2 + 1)^2) = (pi)/(8) + (1)/(4)

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