Calcule a integral,

∫ 0 1 d x x 2 + 1 2    

Passo 1

Olá, meu nobre e querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Veja bem, queremos aqui resolver essa integral indefinida. Vamos começar então pelo método mais elementar, e caso o mesmo não se mostre possível a gente vai pensando em outros métodos.

Nessa aqui, uma substituição simples não funciona, então irei lhe apresentar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Vamos fazer a substituição

x = t g   u  

d x = sec 2 ⁡ u     d u    

Mudando os limites de integração,

x = 0 ⇒ u = 0  

x = 1 ⇒ u = π 4

Sendo assim,

∫ 0 1 d x x 2 + 1 2   = ∫ 0 π 4   sec 2 ⁡ u d u   t g 2 u + 1 2

Sabendo que t g 2   u + 1 = sec 2 ⁡ x

= ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ u   d u sec 4 ⁡ u

Cancelando alguns termos,

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ u   d u sec 4 ⁡ u

= ∫ 0 π 4 1 sec 2 ⁡ u   d u   =     ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ u   d u  

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ u =   1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 u )

∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ u   d u   = ∫ 0 π 4 1 2 1 + cos ⁡ 2 u d u  

= 1 2 ∫ 0 π 4 d u + 1 2 ∫ 0 π 4 cos ⁡ 2 u     d u  

Pela tabela,

1 2 ∫ 0 π 4 d u + 1 2 ∫ 0 π 4 cos ⁡ 2 u     d u   = 1 2 u   ​ 0 π 4 + 1 4 sen ⁡ 2 u   ​ 0 π 4

Aplicando os limites de integração,

1 2 u   ​ 0 π 4 + 1 4 sen ⁡ 2 u   ​ 0 π 4 = π 8 + 1 4

Resposta

∫ 0 1 d x x 2 + 1 2   =   π 8 + 1 4

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