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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 7

Calcule a integral

int_0^a (d x)/((a^2 + x^2)^((3)/(2))) , a > 0

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos calcular a integral

int_0^a (d x)/((a^2 + x^2)^((3)/(2)))

Para a > 0 ...

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para simplificar nossa vida, podemos aplicar o método de substituição.

Dessa forma substituímos a variável de integração uma função que nos possibilite simplificar o cálculo da integral...

Olhando para a integral, como você acha que podemos substituir x ? 🤔

A tabela abaixo irá te ajudar:

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição

x = a t g theta

d x = a sec^2 theta

Mudando os limites de integração,

x = 0 => theta = 0

x = a => theta = (pi)/(4)

Substituindo na integral,

int_0^a (d x)/((a^2 + x^2)^((3)/(2))) = int_0^((pi)/(4)) (a sec^2 theta d theta)/([a^2 (1 + t g^2 theta)]^((3)/(2)))

Ajeitando as contas,

int_0^((pi)/(4)) (a sec^2 theta d theta)/([a^2 (1 + t g^2 theta)]^((3)/(2)))

= int_0^((pi)/(4)) (a sec^2 theta d theta)/(a^3 sec^3 theta)

= (1)/(a^2) int_0^((pi)/(4)) cos theta d theta

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

(1)/(a^2) int_0^((pi)/(4)) cos theta d theta = (1)/(a^2) [s e n theta]_0^((pi)/(4))

Aplicando os limites de integração,

(1)/(a^2) [s e n theta]_0^((pi)/(4)) = (1)/(a^2) ((sqrt(2))/(2) - 0)

Portanto, chegamos em

int_0^a (d x)/((a^2 + x^2)^((3)/(2))) = (1)/(sqrt(2) a^2)

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

int_0^a (d x)/((a^2 + x^2)^((3)/(2))) = (1)/(sqrt(2) a^2)

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