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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 39

Calcule a integral int (x)/(1 - x^2 + sqrt(1 - x^2)) d x .

Passo 1

Nessa questão será necessário fazer uma substituição simples do tipo u.du, logo mudaremos as varáveis da seguinte forma:

u = 1 - x^2

d u = 2 x d x

Aplicando na integral:

int (x)/(1 - x^2 + sqrt(1 - x^2)) d x

int (d u)/(u + sqrt(u))

Ainda não podemos resolver logo a integral, então faremos outra substituição do mesmo jeito:

v = sqrt(u ) -> u = v^2

d u = 2 v d v

Voltando para a integral:

int (v d v)/(v^2 + v)

- int (d v)/(v + 1)

Resolvendo...

- ln |v + 1| + C

- ln |sqrt(u ) + 1| + C

- ln |sqrt(1 - x^2 ) + 1| + C

Resposta

- ln |sqrt(1 - x^2 ) + 1| + C

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