Avalie a integral.

∫ 0 π cos 6 ⁡ θ d θ

Passo 1

Para resolver esse probleminha é bem fácil! Só aplicarmos uma substituição trigonométrica. Vamos primeiro organizar a integral:

∫ 0 π cos 2 ⁡ θ 3   d θ

Podemos tornar o seno aplicando sin 2 ⁡ x + cos 2   ⁡ x = 1 , da seguinte forma:

∫ 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ 3 d θ

Agora ta bom demais!!

Passo 2

Calculando o produto notável da integral, fica assim:

∫ 0 π 1 8 ( 1 - 3 cos ⁡ 2 θ + 3 cos 2 ⁡ 2 θ + cos 3 ⁡ 2 θ ) d θ

Agora podemos resolver!!

∫ 0 π cos 6 ⁡ θ d θ = 1 8 [ θ - 3 2 sin ⁡ 2 θ ] 0 π + 1 8 ∫ 0 π 3 2 ( 1 + cos ⁡ 4 θ ) d θ + 1 8 ∫ 0 π 1 - sin 2 ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ d θ

∫ 0 π cos 6 ⁡ θ d θ = 1 8 π + 3 16 θ + 1 4 sin ⁡ 4   θ 0 π + 1 8 ∫ 0 π 1 - sin 2 ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ d θ  

Temos que fazer uma substituiçãozinha, logo:

u = sin ⁡ θ                 d u = 2 cos ⁡ 2 θ d θ

Lembrando de mudar os intervalos também hein!!

Então vamos ter,

∫ 0 π cos 6 ⁡ θ d θ = 1 8 π + 3 16 θ + 1 4 sin ⁡ 4   θ 0 π + 1 8 ∫ 0 0 1 - u 2 1 2 d u  

∫ 0 π cos 6 ⁡ θ d θ = 1 8 π + 3 16 π + 1 4 sin ⁡ 4 π - 0 + 1 4 sin ⁡ 4 × 0 + 0

∫ 0 π cos 6 ⁡ θ d θ = 1 8 π + 3 16 π + 0 = 5 π 16

Finishh!! :)

Resposta

∫ 0 π cos 6 ⁡ θ d θ = 5 π 16

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