Avalie a integral. int_0^(pi) cos^6 theta d theta Passo 1Para resolver esse probleminha é bem fácil! Só aplicarmos uma substituição trigonométrica. Vamos primeiro organizar a integral: int_0^(pi) [cos^2 theta]^3 d theta Podemos tornar o seno aplicando sin^2 x + cos^2 x = 1 , da seguinte forma: int [(1)/(2) (1 + cos 2 theta)]^3 d theta Agora ta bom demais!! Passo 2Calculando o produto notável da integral, fica assim: int_0^(pi) (1)/(8) ( 1 - 3 cos 2 theta + 3 cos^2 2 theta + cos^3 2 theta ) d theta Agora podemos resolver!! int_0^(pi) cos^6 theta d theta = (1)/(8) [ theta - (3)/(2) sin 2 theta ]_0^(pi) + (1)/(8) int_0^(pi) (3)/(2) ( 1 + cos 4 theta ) d theta + (1)/(8) int_0^(pi) (1 - sin^2 2 theta) cos 2 theta d theta int_0^(pi) cos^6 theta d theta = (1)/(8) pi + (3)/(16) [theta + (1)/(4) sin 4 theta]_0^(pi) + (1)/(8) int_0^(pi) (1 - sin^2 2 theta) cos 2 theta d theta Temos que fazer uma substituiçãozinha, logo: u = sin theta d u = 2 cos 2 theta d theta Lembrando de mudar os intervalos também hein!! Então vamos ter, int_0^(pi) cos^6 theta d theta = (1)/(8) pi + (3)/(16) [theta + (1)/(4) sin 4 theta]_0^(pi) + (1)/(8) int_0^0 (1 - u^2) (1)/(2) d u int_0^(pi) cos^6 theta d theta = (1)/(8) pi + (3)/(16) [pi + (1)/(4) sin 4 pi - (0 + (1)/(4) sin 4 xx 0)] + 0 int_0^(pi) cos^6 theta d theta = (1)/(8) pi + (3)/(16) pi + 0 = (5 pi)/(16) Finishh!! :) Resposta int_0^(pi) cos^6 theta d theta = (5 pi)/(16) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosDeduza uma fórmula similar àquela do Exercício 40 para ∫ tan x sec n x d x ,s en ≠ 0 .Prove int cot x csc^n x d x = - (csc^n x)/(n) + C , s e n != 0 .Prove int tan^n x d x = (tan^(n - 1) x)/(n - 1) - int tan^(n - 2) x d x , s e n for um inteiro positivo maior do que 1.Prove:int c o s^n u d u = (1)/(n) c o s^(n - 1) u s e n u + (n - 1)/(n) int c o s^(n - 2) u d uAche o centroide da região``````descrita no Exercício 44.Ver TambémVer Livro Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James StewartVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Integrais TrigonométricasVer exercício 7.5 - 39Ver exercício 3.10 - 20