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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 21

Calcule a integral int t^3 e^(- 2 t) d t .

Passo 1

Nessa questão será necessário fazer uma substituição do tipo u.dv ou integração por partes, logo mudaremos as varáveis da seguinte forma:

u = t^3

d u = 3 t^2 d t

d v = e^(- 2 t) d t

v = - (1)/(2) e^(- 2 t)

Aplicando na integral:

int t^3 e^(- 2 t) d t

u v - int v d u

- (1)/(2) e^(- 2 t) t^3 + (1)/(2) int 3 t^2 e^(- 2 t) d t

Como voltamos a mesma integral inicial do problema, vamos repetir tudo outra vez okay?

u = 3 t^2

d u = 2 t d t

d v = e^(- 2 t) d t

v = - (1)/(2) e^(- 2 t)

Aplicando na integral novamente teremos:

- (1)/(2) e^(- 2 t) t^3 + (1)/(2) (- (1)/(2) e^(- 2 t) 3 t^2 + (1)/(2) int 3 t e^(- 2 t) d t)

- (1)/(2) e^(- 2 t) t^3 - (3)/(4) e^(- 2 t) t^2 + (1)/(2) int 3 t e^(- 2 t) d t

É galerinha ainda não podemos resolver essa integral de forma direta, mais uma vez teremos que fazer integração por partes, mas eu juro que essa é a ultima vez, vamos?

u = t

d u = d t

d v = e^(- 2 t) d t

v = - (1)/(2) e^(- 2 t)

Aplicando novamente na integral...

- (1)/(2) e^(- 2 t) t^3 - (3)/(4) e^(- 2 t) t^2 + (3)/(2) (- (1)/(2) e^(- 2 t) t + (1)/(2) int e^(- 2 t) d t)

Resolvendo tudo isso, ficará assim:

- (1)/(2) e^(- 2 t) t^3 - (3)/(4) e^(- 2 t) t^2 - (3)/(4) e^(- 2 t) t - (3)/(8) e^(- 2 t) + C

- (1)/(8) e^(- 2 t) (4 t^3 + 6 t^2 + 6 t + 3) + C

Resposta

- (1)/(8) e^(- 2 t) (4 t^3 + 6 t^2 + 6 t + 3) + C

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