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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 14

Calcule a integral int (sqrt(1 + l n x))/(x l n x) d x .

Passo 1

Nessa questão será necessário fazer uma substituição simples do tipo u.du, logo mudaremos as varáveis da seguinte forma:

u = l n x

d u = (1)/(x) d x

Voltando para a integral:

int (sqrt(1 + l n x))/(x l n x) d x

int (sqrt(1 + u))/(u) d u

Ainda não podemos resolver logo a integral, então faremos outra substituição do mesmo jeito:

v = sqrt(1 + u ) -> u = v^2 - 1

d u = 2 d v

Aplicando na integral:

int (sqrt(1 + u))/(u) d u

2 int 1 + (1)/(v^2 - 1) d v

Resolvendo...

2 v + l n |(v - 1)/(v + 1)| + C

Voltando a variável inicial, temos:

2 sqrt(1 + u ) + l n |(sqrt(1 + u ) - 1)/(sqrt(1 + u ) + 1)| + C

2 sqrt(1 + l n x ) + l n |(sqrt(1 + l n x ) - 1)/(sqrt(1 + l n x ) + 1)| + C

Resposta

2 sqrt(1 + l n x ) + l n |(sqrt(1 + l n x ) - 1)/(sqrt(1 + l n x ) + 1)| + C

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