Calcule a integral ∫ x   s e n - 1 x   d x .

Passo 1

Nessa questão será necessário fazer uma substituição do tipo u.dv ou integração por partes, logo mudaremos as varáveis da seguinte forma:

u = s e n - 1 x  

d u =   1 1 -   x 2 d x  

d v = x d x

v =   1 2 x 2

Aplicando na integral:

∫ x   s e n - 1 x   d x

u v -   ∫ v   d u

1 2 x 2 s e n - 1 x -   1 2 ∫ x 2 1 1 -   x 2   d x  

Fazendo:

x =   s e n - 1 θ

1 2 x 2 s e n - 1 x -   1 2 ∫ s e n 2 θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ   d θ

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

1 2 x 2 s e n - 1 x -   1 4 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ d θ

1 2 x 2 s e n - 1 x -   1 4 θ - s e n θ cos ⁡ θ + C

Voltando para a variável inicial, teremos:

1 2 x 2 s e n - 1 x -   1 4 s e n - 1 x - x 1 -   x 2 + C

1 4 2 x 2 - 1 s e n - 1 x + x 1 - x 2 + C

Resposta

1 4 2 x 2 - 1 s e n - 1 x + x 1 - x 2 + C

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