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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 22

Calcule a integral int x s e n^(- 1) x d x .

Passo 1

Nessa questão será necessário fazer uma substituição do tipo u.dv ou integração por partes, logo mudaremos as varáveis da seguinte forma:

u = s e n^(- 1) x

d u = (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x

d v = x d x

v = (1)/(2) x^2

Aplicando na integral:

int x s e n^(- 1) x d x

u v - int v d u

(1)/(2) x^2 s e n^(- 1) x - (1)/(2) int x^2 (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Fazendo:

x = s e n^(- 1) theta

(1)/(2) x^2 s e n^(- 1) x - (1)/(2) int (s e n^2 theta cos theta)/(cos theta) d theta

- (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2)

(1)/(2) x^2 s e n^(- 1) x - (1)/(4) int (1 - cos 2 theta) d theta

(1)/(2) x^2 s e n^(- 1) x - (1)/(4) (theta - s e n theta cos theta) + C

Voltando para a variável inicial, teremos:

(1)/(2) x^2 s e n^(- 1) x - (1)/(4) [s e n^(- 1) x - x sqrt(1 - x^2)] + C

(1)/(4) [(2 x^2 - 1) s e n^(- 1) x + x sqrt(1 - x^2)] + C

Resposta

(1)/(4) [(2 x^2 - 1) s e n^(- 1) x + x sqrt(1 - x^2)] + C

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