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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 38

Calcule a integral

int_4^9 (sqrt(x) + (1)/(sqrt(x)))^2 d x

Passo 1

A integral que ele nos pede para calcular é a seguinte:

I = int_4^9 (sqrt(x) + (1)/(sqrt(x)))^2 d x

Então vamos abrir esse termo ao quadrado pra ver como fica:

(sqrt(x) + (1)/(sqrt(x)))^2 = x + 2 + (1)/(x)

Voltando para nossa integral:

I = int_4^9 (x + 2 + (1)/(x)) d x

Agora vamos separar pra ficar mais fácil.

I = int_4^9 x d x + int_4^9 2 d x + int_4^9 (1)/(x) d x

Nesse caso, temos que lembrar do seguinte:

int (1)/(x) d x = ln |x| + c

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Quando n != - 1

Passo 2

Então nossa integral fica:

I = [(x^2)/(2)]_4^9 + 2 * [x]_4^9 + [ln |x|]_4^9

Aplicando entre esses pontos:

I = [(9^2)/(2) - (4^2)/(2)] + 2 * [9 - 4] + [ln |9| - ln |4|]

Fazendo as contas:

I = (85)/(2) + ln ((9)/(4))

Resposta

(85)/(2) + ln ((9)/(4))

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