Calcule a integral

∫ 4 9 x + 1 x 2   d x

Passo 1

A integral que ele nos pede para calcular é a seguinte:

I = ∫ 4 9 x + 1 x 2   d x

Então vamos abrir esse termo ao quadrado pra ver como fica:

x + 1 x 2 = x + 2 + 1 x

Voltando para nossa integral:

I = ∫ 4 9 x + 2 + 1 x d x

Agora vamos separar pra ficar mais fácil.

I = ∫ 4 9 x d x + ∫ 4 9 2 d x + ∫ 4 9 1 x d x  

Nesse caso, temos que lembrar do seguinte:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + C

Quando   n   ≠ - 1

Passo 2

Então nossa integral fica:

I = x 2 2 4 9 + 2   ⋅ x 4 9 + ln ⁡ x 4 9

Aplicando entre esses pontos:

I = 9 2 2 - 4 2 2 + 2 ⋅ 9 - 4 + ln ⁡ 9 - ln ⁡ 4

Fazendo as contas:

I = 85 2 + ln ⁡ 9 4

Resposta

85 2 + ln ⁡ 9 4

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