Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 18
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
18)
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema! Temos a seguinte integral:
E o enunciado pede pra calcular usando a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo! Vamos dar uma relembrada:
Ele diz que se for contínua no intervalo fechado então podemos definir a função:
Onde é contínua em e derivável em . Além disso .
Passo 2
No nosso caso temos a função:
O problema é que também temos uma função dentro do limite de integração, , então vamos fazer a seguinte substituição:
Se queremos a derivada de em função de podemos usar a Regra da Cadeia:
Então primeiro vamos derivar y em fun��ão de :
Podemos inverter os limites de integração:
Assim fica mais parecido com o caso geral do teorema! Falando nele, devemos ter a função contínua dentro do intervalo de integração. Para isso devemos ter:
Como temos o , não tem como a nossa expressão ser negativa! Então a função será sempre contínua!
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Substituindo u:
Agora nos falta achar
Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia: