Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.3 - Ex. 16
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
Oi, tudo certinho?
Precisamos encontrar a derivada de uma função que é dada como sendo uma integral de uma outra função. Para facilitar o entendimento, vamos chamar a função de , beleza?
Mais explicitamente, temos que encontrar a derivada da função
usando a Parte do Teorema Fundamental do Cálculo.
🤔 Mas o que essa tal de Parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz mesmo?
Basicamente, ele fala que sempre que uma função é obtida integrando uma função , então a derivada da função é a função
Mas precisamos tomar cuidado!
De forma precisa, o teorema fundamental do cálculo diz que se
então
Perceba que isso não é exatamente o que temos na função , pois temos uma diferença no limite superior de integração. No caso do teorema, o limite superior é , enquanto no caso da função , ele é
Então, vamos ver como resolvermos essa questão?
Passo 2
Definindo a função
Então pelo Teorema Fundamental do Cálculo a derivada é dada por
certo?
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada da função conforme pedido no enunciado!
Pensa o seguinte: Devido a definição da função dada no passo anterior, temos que
Mas se liga, sabendo a derivada de (encontramos no passo anterior) e a derivada da função , então usando a Regra da Cadeia conseguimos calcular a derivada de
De fato, a Regra da Cadeia diz que
então como
vale que
Para calcular a derivada de , vale a pena lembrar da Regra da Potência também:
Logo, como
e
então
Dessa forma, a função procurada é dada por:
Resposta
A derivada da função
é