A região limitada pelas curvas dadas é girada ao redor dos eixos especificados. Ache o volume do solido resultante por qualquer método

y = x^2 + x - 2 , y = 0 ; ao redor do eixo x

Passo 1

Inicialmente, vamos analisar o gráfico de nossa x 2 + x - 2 . Então vamos achar as raízes.

x 2 + x - 2 = 0

Logo,

x = - 1 ± 1 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 2 2 → x = - 2   o u   x = 1

Então o gráfico fica o seguinte:

Nessa questão vamos usar o método dos discos. Vem comigo!

V = ∫ a b π f x 2 d x

Logo,

V = ∫ - 2 1 π x 2 + x - 2 2 d x

Abrindo esse termo ao quadrado:

x 2 + x - 2 2 = x 2 + x 2 - 4 x 2 + x + 4

Isto é,

x 2 + x - 2 2 = x 4 + 2 x 3 - 3 x 2 - 4 x + 4

V = ∫ - 2 1 π x 4 + 2 x 3 - 3 x 2 - 4 x + 4 d x

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 2

Integrando, temos:

V = π x 5 5 + 2 x 4 4 - 3 x 3 3 - 4 x 2 2 + 4 x - 2 1

Aplicando entre esses pontos:

V = π 1 5 + 2 4 - 3 3 - 4 2 + 4 - 2 5 5 + 2 ⋅ 2 4 4 - 3 ⋅ 2 3 3 - 4 ⋅ 2 2 2 + 4 ⋅ 2

Fazendo as contas:

V = 81 π 10

Resposta

V = 81 π 10

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