Calcule a integral:

23) ∫ 0 1 x 4 5 d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi pedido para calcularmos a integral

∫ 0 1 x 4 5 d x

Parece complicado?

Para responder esse problema vamos usar a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F x é a antiderivada de f x , ou seja, F ' x = f x .

Então o que precisamos fazer é encontrar a antiderivada de f x = x 4 / 5 e aplicar no teorema.

Como f é uma função potencial, sua antiderivada é calculada pela regra da potência:

a x n → a x n + 1 n + 1 + C ,     n ≠ - 1

Show?

Passo 2

Vamos começar calculando a antiderivada de f pela regra da potência.

f x = x 4 5 → F x = x 4 5 + 1 4 5 + 1 + C

Simplificando...

F x = x 9 5 9 5 + C

F x = 5 9 x 9 5 + C

Agora sim! Aplicando no teorema que vimos no passo 1:

∫ a b f x d x = F b - F a

∫ 0 1 x 4 5 d x = 5 9 1 9 5 + C - 5 9 0 9 5 + C

∫ 0 1 x 4 5 d x = 5 9 + C - C

Perceba que sempre as contantes C vão se cancelar quando temos uma integral definida.

∫ 0 1 x 4 5 d x = 5 9

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ 0 1 x 4 5 d x = 5 9

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