Calcule a integral.

∫ 1 4 2 t 3 / 2 i + t + 1 t k d t

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que calcular a integral de uma função vetorial. Mas como fazer isso? Da mesma forma que integramos normalmente, devemos integrar cada termo x t ,   y t ,   z t individualmente.

Note que podemos escrever a integral do enunciado da seguinte maneira:

∫ 1 4 2 t 3 / 2 i + t + 1 t k d t = ∫ 1 4 2 t 3 / 2 d t i + ∫ 1 4 t t d t k + ∫ 1 4 t d t k

A partir daí é resolver a integral como sabemos. Por ser uma integral polinomial, não precisaremos utilizar nenhuma substituição, apenas a fórmula geral:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Passo 2

Calculando cada uma, temos:

∫ 1 4 2 t 3 / 2 i + t + 1 t k d t = ∫ 1 4 2 t 3 / 2 d t i + ∫ 1 4 t t d t k + ∫ 1 4 t d t k

Vamos transformar as raízes em potencias:

∫ 1 4 2 t 3 / 2 i + t + 1 t k d t = ∫ 1 4 2 t 3 / 2 d t i + ∫ 1 4 t ⋅ t 1 2 d t k + ∫ 1 4 t 1 2 d t k

Podemos então calcular as integrais:

∫ 1 4 2 t 3 / 2 d t i + ∫ 1 4 t t d t k + ∫ 1 4 t t d t k = 4 5 t 5 / 2 i 1 4 + 2 5 t 5 / 2 k 1 4 + 2 3 t 3 / 2 k 1 4

colocando os limites de integração:

= 4 5 4 5 2 - 1 5 2 i + 2 5 4 5 2 - 1 5 2 k + 2 3 4 3 2 - 1 3 2 k

= 4 5 32 - 1 i + 2 5 32 - 1 k + 2 3 8 - 1 k

Temos então nosso resultado:

∫ 1 4 2 t 3 / 2 i + t + 1 t k d t = 124 5 i + 256 15 k

Resposta

∫ 1 4 2 t 3 / 2 i + t + 1 t k d t = 124 5 i + 256 15 k

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