Calcule a integral.

∫ 0 2 t i - t 3 j + 3 t 5 k d t

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos resolver essa atividade juntos hoje.

Ela é bem direta, devemos calcular a integral:

∫ 0 2 t i - t 3 j + 3 t 5 k d t

É a integral de um vetor. Para realizar uma integral de um vetor a gente integra todas as coordendas normalmente, como faríamos caso estivessimos integrando uma função escalar.

Passo 2

Note que podemos escrever a integral do enunciado da seguinte maneira:

∫ 0 2 t d t i - ∫ 0 2 t 3 d t j + ∫ 0 2 3 t 5 d t k

Calculando cada uma, utilizando da regra da integral para polinômios ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 temos:

∫ 0 2 t d t i - ∫ 0 2 t 3 d t j + ∫ 0 2 3 t 5 d t k = t 2 2 i 0 2 - t 4 4 j 0 2 + 3 t 6 6 k 0 2

Agora a gente coloca os intervalos de integração:

∫ 0 2 t d t i - ∫ 0 2 t 3 d t j + ∫ 0 2 3 t 5 d t k = 1 2 2 2 - 0 2 i - 1 4 2 4 - 0 4 j + 3 1 6 2 6 - 0 6 k

Realiando todas as contas:

∫ 0 2 t d t i - ∫ 0 2 t 3 d t j + ∫ 0 2 3 t 5 d t k = 1 2 4 i - 1 4 16 j + 1 2 64 k

Temos então:

∫ 0 2 t d t i - ∫ 0 2 t 3 d t j + ∫ 0 2 3 t 5 d t k = 2 i - 4 j + 32 k

Assim, temos que:

∫ 0 2 t i - t 3 j + 3 t 5 k d t = 2 i - 4 j + 32 k

Resposta

∫ 0 2 t i - t 3 j + 3 t 5 k d t = 2 i - 4 j + 32 k

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