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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 42

Calcule a integral.

∫ 1 2 x - 1 3 x 2 d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos calcular a integral dada por

∫ 1 2 x - 1 3 x 2 d x

Parece complicado?

Para resolver essa integral vamos tentar analisar o numerador e denominador, da pra ver que temos uma expressão de grau 2 no denominador, e uma de grau 3 no numerador.

Vamos então destrinchar o numerador e ver se conseguimos fazer o denominador desaparecer.

Dessa forma, podemos fransformar nossa função em um polinômio, que é bem mais fácil de ser calculado.

Veja só!

Passo 2

Nossa integral é

∫ 1 2 x - 1 3 x 2 d x

Vamos começar observando que o numerador é um produto notável chamado cubo da diferença. Sua forma geral:

a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3

Assim, aplicando, teremos:

Vamos pegar só a função e destrinchar ela:

x - 1 3 x 2 = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 3 x 2

Agora podemos simplificar cada ums dos termos com o denominador:

x - 1 3 x 2 = x - 3 + 3 x - 1 x 2

Perfeito, vamos substituir de volta na integral então:

∫ 1 2 x - 1 3 x 2 d x = ∫ 1 2 x - 3 + 3 x - 1 x 2 d x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ x - 3 + 3 x - 1 x 2 d x

Vamos usar algumas propriedades, como a da soma, sabemos que:

∫ x - 3 + 3 x - 1 x 2 d x = ∫ x d x + ∫ - 3 d x + ∫ 3 x d x + ∫ - 1 x 2 d x

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando quatro expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ k d x = k x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

∫ x d x = x 1 + 1 1 + 1 = x 2 2 + C

∫ - 3 d x = - 1 ∫ 3 d x = - 3 x + C

∫ 3 x d x = 3 ∫ 1 x d x = 3 ln ⁡ x + C

∫ - x - 2 d x = - 1 ∫ x - 2 d x = - 1 x - 2 + 1 - 2 + 1 = - x - 1 - 2 + 1 = - x - 1 - 1 = 1 x + C

Show?

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 1 2 x - 3 + 3 x - 1 x 2 d x = x 2 2 - 3 x + 3 ln ⁡ x + 1 x 1 2

2 2 2 - 3.2 + 3 ln ⁡ 2 + 1 2 - 1 2 2 - 3.1 + 3 ln ⁡ 1 + 1 1

2 - 6 + 3 ln ⁡ 2 + 1 2 - 1 2 - 3 + 3.0 + 1

Simplificando...

∫ 1 2 x - 3 + 3 x - 1 x 2 d x = - 2 + 3 ln ⁡ 2

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ 1 2 x - 1 3 x 2 d x = - 2 + 3 ln ⁡ 2

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