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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 36

Calcule

int_(- 1)^1 root(3)(t) d t

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

int_(- 1)^1 root(3)(t) d t = int_(- 1)^1 t^((1)/(3)) d t

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int t^n d t = (t^(n + 1))/(n + 1)

Para int t^((1)/(3)) d t , n = (1)/(3)

int t^((1)/(3)) d t = (t^(n + 1))/(n + 1) = (t^((1)/(3) + 1))/((1)/(3) + 1) = (t^((4)/(3)))/((4)/(3)) = (3)/(4) t^((4)/(3))

int_(- 1)^1 root(3)(t) d t = [(3)/(4) t^((4)/(3))]

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (t) uma primitiva de f (t) , então:

int_a^b f (t) d t = F (b) - F (a)

Assim: [(3)/(4) t^((4)/(3))] (1)/(- 1) = (3)/(4) [t^((4)/(3))] (1)/(- 1)

= (3)/(4) ((1)^((4)/(3)) - (- 1)^((4)/(3))) = ((1^3)^((4)/(3)) - ((- 1)^3)^((4)/(3))) =

= (1^4 - (- 1)^4) =

= (1 - 1) = 0

Resposta

int_(- 1)^1 root(3)(t) d t = 0

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