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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 62

A base de S é um disco circular com raio r . As secções transversais paralelas, perpendiculares à base, são triângulos isósceles de altura h e lado desigual na base.

  1. Estabeleça uma integral para o volume de S .
  2. Interpretando a integral como uma área, encontre o volume de S .

Passo 1

Falaeee, belezinha?? Bom... a questão nos dá um sólido S descrito da seguinte forma:

“A base de S é um disco circular com raio r . As secções transversais paralelas, perpendiculares à base, são triângulos isósceles de altura h e lado desigual na base”.

Com isso, devemos primeiramente elaborar uma integral que descreva seu volume.

Para isso, temos que o volume é dado pela seguinte integral:

V = ∫ a b A ( x ) d x

Em seguida, temos que interpretar a integral como uma área e calcular seu volume.

E aí? Bora lá?? 😉

Passo 2

Estabelecendo a integral:

V = ∫ - r r A x d x ∴

V = 2 ∫ 0 r A x d x ∴

V = 2 ∫ 0 r 1 2 h 2 r 2 - x 2 d x ∴

V = 2 h ∫ 0 r r 2 - x 2 d x

Passo 3

Observando que a integral representa um quarto da área do círculo de raio r , temos que:

V = 2 h 1 4 π r 2 ∴

V = 1 2 π r ²

Resposta

  1. V = 2 h ∫ 0 r r 2 - x 2 d x
  2. V = 1 2 π r ²
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