Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 45
Calcule a integral.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral definida:
Para isso, devemos calcular primeiro a integral indefinida para encontrar a primitiva e, depois, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte:
Se for contínua em , então
Onde é qualquer primitiva de , isto é, uma função tal que .
Ou seja, vamos aplicar os limites de integração, lembrando que pelo Teorema Fundamental do Cálculo, nós aplicamos o limite superior na função e subtraímos pelo resultado da aplicação do limite inferior na função.
Vamos ver isso acontecendo.
Bora aplicar!! 😉
Passo 2
Ixiii, temos um módulo alí na função, mas calma, só precisamos analisar esse módulo e vai da tudo certo.
Veja bem, como o intervalo de integração vai de a , o que temos que fazer é separar essa integral, para isso vamos usar a seguinte propriedade, que combina integrais da mesma função em intervalos adjacentes:
Pronto, vamos usar!! Para o intervalo de integração menor que usamos e maior que , :
Viu? Agora fica simples de resolver, vamos lá!
Passo 3
Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:
Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:
Passo 4
Pronto, já encontramos a integral indefinida!!
Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Ficamos então com:
E aplicando os limites de integração
O que dará:
Assim, podemos dizer que nossa integral:
E prontinho.