Calcule a integral.

∫ - 1 2 x - 2 x   d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral definida:

∫ - 1 2 x - 2 x   d x

Para isso, devemos calcular primeiro a integral indefinida para encontrar a primitiva e, depois, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte:

Se f for contínua em a , b , então

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F ' = f .

Ou seja, vamos aplicar os limites de integração, lembrando que pelo Teorema Fundamental do Cálculo, nós aplicamos o limite superior na função e subtraímos pelo resultado da aplicação do limite inferior na função.

Vamos ver isso acontecendo.

Bora aplicar!! 😉

Passo 2

Ixiii, temos um módulo alí na função, mas calma, só precisamos analisar esse módulo e vai da tudo certo.

Veja bem, como o intervalo de integração vai de - 1 a 2 , o que temos que fazer é separar essa integral, para isso vamos usar a seguinte propriedade, que combina integrais da mesma função em intervalos adjacentes:

∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x = ∫ a b f x d x

Pronto, vamos usar!! Para o intervalo de integração menor que 0 usamos x = - x e maior que 0 , x = x :

∫ - 1 2 x - 2 x   d x = ∫ - 1 0 x - 2 - x   d x + ∫ 0 2 x - 2 x   d x

∫ - 1 2 x - 2 x   d x = ∫ - 1 0 3 x   d x + ∫ 0 2 - x   d x

Viu? Agora fica simples de resolver, vamos lá!

Passo 3

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ 3 x   d x + ∫ - x   d x

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

∫ 3 x   d x = 3 ∫ x   d x = 3 ⋅ x 1 + 1 1 + 1 = 3 x 2 2 + C

∫ - x   d x = - 1 ∫ x   d x = - 1 ⋅ x 1 + 1 1 + 1 = - x 2 2 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida!!

Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ - 1 2 x - 2 x   d x = ∫ - 1 0 3 x   d x + ∫ 0 2 - x   d x

3 x 2 2 - 1 0 + - x 2 2 0 2

E aplicando os limites de integração

3 . 0 2 2 - 3 . - 1 2 2 + - 2 2 2 - - 0 2 2

O que dará:

- 3 2 + - 2

Assim, podemos dizer que nossa integral:

∫ - 1 2 x - 2 x   d x = - 7 2

E prontinho.

Resposta

∫ - 1 2 x - 2 x   d x = - 7 2

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