Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:

A é o conjunto de todos (x, y) tais que x >= 0 e x³ ≤ y ≤ x .

Passo 1

Oi, pessoal! Nessa questão nós queremos a área entre x ³ ≤ y ≤ x . Então vamos começar esboçando os dois gráficos y = x e y = x 3 , e verificando onde os dois se cruzam.

x 3 = x

x 3 - x = 0

x = 0 e x = ± 1

Como o problema diz que só está interessando na parte x ≥ 0 , a região que vamos integrar será:

Agora que desenhamos a figura, vamos montar a integral!

Passo 2

Repara na figura que função maior é y = x e a função menor é y = x 3 , e a nossa vai região vai de x = 0 até x = 1 , como isso temos que

Á r e a =   ∫ 0 1 x   d x -   ∫ 0 1 x 3   d x = x 2 2 0 1 - x 4 4 0 1 = 1 4  

Resposta

Á r e a = 1 4

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