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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 31

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

f x = x 4

Passo 1

Opa, aqui temos a função:

f x = x 4

Para calcular f ' ( x ) pela definição vamos ter que relembrar a fórmula:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Ela parece complicada, mas só parece, temos que substituir com a função que queremos, vamos lá:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ x + h 4 - x 4 h

Pronto, agora para resolver esse limite vamos ter que dá uma manipulada nele, vamos lá!!

Passo 2

Vamos destrinchar esse numerador e ver se fica simples resolver, vamos devagar pra não cometer nenhum erro:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 4 - x 4 h = lim h → 0 ⁡ x + h 2 ∙ x + h 2 - x 4 h

= lim h → 0 ⁡ x 2 + 2 x h + h 2 ∙ x 2 + 2 x h + h 2 - x 4 h

= lim h → 0 ⁡ x 4 + 2 x 3 h + x 2 h 2 + 2 x 3 h + 4 x 2 h 2 + 2 x h 3 + h 2 x 2 + 2 x h 3 + h 4 - x 4 h

= lim h → 0 ⁡ 4 x 3 h + 6 x 2 h 2 + 4 x h 3 + h 4 h

= lim h → 0 ⁡ 4 x 3 + 6 x 2 h + 4 x h 2 + h 3

Pronto, chegamos em uma expressão simples, agora é só resolver aplicadando o valor que h tende:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 4 x 3 + 6 x 2 h + 4 x h 2 + h 3

= 4 x 3 + 6 . x 2 . 0 + 4 . x . 0 2 + 0 3 = 4 x 3

Passo 3

Agora vamos ver os domínios das duas funções:

A função f x = x 4 tem domínio nos reais, nenhum valor impede de retornar um valor para essa função.

A mesma coisa acontece com a derivada da função, f ' x = 4 x ³ , ela também tem domínio nos reias.

Resposta

f ' x = 4 x ³

Domínio de f = domínio de f ' = R .

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