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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 29

Calcule a integral.

∫ - 2 - 1 4 y 3 + 2 y 3 d y

Passo 1

E aí, pessoal! Nessa questão, precisamo calcular a integral definida

∫ - 2 - 1 4 y 3 + 2 y 3 d y .

Observe que nesse caso, o intervalo de integração [ a ,   b ] é igual a [ - 2 ,   - 1 ] e o integrando é a função

f y =   4 y 3 + 2 y 3 ,

ou seja,

f y = 4 y 3 + 2 y - 3 .

Reescrever o integrando dessa forma vai facilitar o nosso trabalho, beleza 😉?

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f y d y = ∫ f y d y ] a b

    onde ∫ f y d y é a primitiva da função f , ou seja,

    d d y ∫ f ( y ) d y   = f y .

  • A integral indefinida de uma soma de funções é a soma das integrais indefinidas de cada uma das funções.

    • ∫ f y + g y d y =   ∫ f y d y +   ∫ g ( y ) d y .

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f y d y =   c ∫ f ( y ) d y .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função y n é a função

∫ y n   d t = y n + 1 n + 1 + B ,

onde B é uma constante qualquer.

Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!

👀 Nos próximos passos, vamos encontrar a integral indefinida da função f e obter o seu valor nos extremos do intervalo [ - 2 ,   - 1 ] , beleza?

Passo 2

Começamos encontrando a integral indefinida

∫ 4 y 3 + 2 y - 3   d y .

Para isso, usamos as propriedades das integrais indefinidas dadas no Passo 1 .

Logo,

∫ 4 y 3 + 2 y - 3   d y = 4 ∫ y 3 d y + 2 ∫ y - 3 d y .

Usando a Regra da Potência em cada um dos termos, temos que

∫ 4 y 3 + 2 y - 3   d y = y 4 - y - 2 + C .

Observe que derivando a expressão que encontramos, temos que:

d d y y 4 - y - 2 + C = 4 y 3 + 2 y - 3 = f ( y ) ,

ou seja, não fizemos nenhuma besteira e encontramos a integral indefinida (primitiva) de f certinha 🎉!

Passo 3

Agora, só precisamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental. Lembrando que o nosso intervalo de integração é [ - 2 ,   - 1 ] , temos:

∫ - 2 - 1 4 y 3 + 2 y - 3   d y =   ∫ 4 y 3 + 2 y - 3   d y ] - 2 - 1 .

Como no Passo anterior encontramos que

∫ 4 y 3 + 2 y - 3   d y = y 4 - y - 2 + C ,

então calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:

Em y =   - 1

∫ 4 y 3 + 2 y - 3   d y ​ | y = - 1 = - 1 4 - - 1 - 2 + C ,

ou seja,

∫ 4 y 3 + 2 y - 3   d y ​ | y = - 1 = C .

Em y = - 2

∫ 4 y 3 + 2 y - 3   d y ​ | y = - 2 = - 2 4 - - 2 - 2 + C ,

ou seja,

∫ 4 y 3 + 2 y - 3   d y ​ | y = - 2 = 16 - 1 4 + C .

Logo,

∫ 4 y 3 + 2 y - 3   d y ​ | y = - 2 = 63 4 + C .

Substituindo os valores encontrados na igualdade do Teorema, temos que:

∫ - 2 - 1 4 y 3 + 2 y - 3   d y = C - 63 4 + C .  

Dessa forma, a integral procurada vale

∫ - 2 - 1 4 y 3 + 2 y 3 d y = ∫ - 2 - 1 4 y 3 + 2 y - 3   d y = - 63 4 .

Resposta

A integral vale:

∫ - 2 - 1 4 y 3 + 2 y 3 d y = - 63 4 .

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