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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 30

Calcule a integral.

∫ 1 2 y + 5 y 7 y 3 d y

Passo 1

Oie, vamos resolver essa questão!

Queremos encontrar o valor da integral definida

∫ 1 2 y + 5 y 7 y 3 d y .

✏️ Anota aí: O intervalo de integração [ a ,   b ] é igual a [ 1 ,   2 ] e o integrando é a função

f y =   y + 5 y 7 y 3 = y + 5 y 7 y - 3 ,

ou seja,

f y = y - 2 + 5 y 4 .

Reescrevemos a função f , pois isso vai facilitar o nosso trabalho, beleza 😉?

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f y d y = ∫ f y d y ] a b

    onde ∫ f y d y é a primitiva da função f , ou seja,

    d d y ∫ f ( y ) d y   = f y .

  • A integral indefinida de uma soma de funções é a soma das integrais indefinidas de cada uma das funções.

    • ∫ f y + g y d y =   ∫ f y d y +   ∫ g ( y ) d y .

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f y d y =   c ∫ f ( y ) d y .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função y n é a função

∫ y n   d t = y n + 1 n + 1 + B ,

onde B é uma constante qualquer.

Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!

👀 Nos próximos passos, vamos encontrar a integral indefinida da função f e obter o seu valor nos extremos do intervalo [ 1   2 ] .

Bora lá!

Passo 2

Começamos encontrando a integral indefinida

∫ y - 2 + 5 y 4   d y .

Para isso, usamos as propriedades da integral indefinidas dadas no Passo 1 .

Logo,

∫ y - 2 + 5 y 4   d y = ∫ y - 2 d y + 5 ∫ y 4 d y .

Usando a Regra da Potência em cada um dos termos, temos que

∫ y - 2 + 5 y 4   d y = - y - 1 + y 5 + C .

Observe que derivando a expressão que encontramos, temos que:

d d y - y - 1 + y 5 + C = y - 2 + 5 y 4 = f ( y ) ,

então encontramos a integral indefinida de f certinha 🎉!

Passo 3

Agora, só precisamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental. Lembrando que o nosso intervalo de integração é [ 1 ,   2 ] , temos:

∫ 1 2 y - 2 + 5 y 4   d y =   ∫ y - 2 + 5 y 4   d y ] 1 2 .

Como no Passo anterior encontramos que

∫ y - 2 + 5 y 4   d y = - y - 1 + y 5 + C ,

então calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:

Em y =   2

∫ y - 2 + 5 y 4   d y ​ | y = 2 = - 2 - 1 + 2 5 + C ,

ou seja,

∫ y - 2 + 5 y 4   d y ​ | y = 2 = - 1 2 + 32 + C .

Logo,

∫ y - 2 + 5 y 4   d y ​ | y = 2 = 63 2 + C .

Em y = 1

∫ y - 2 + 5 y 4   d y ​ | y = 1 = - 1 - 1 + 1 5 + C ,

ou seja,

∫ y - 2 + 5 y 4   d y ​ | y = 1 = C .

Substituindo os valores encontrados na igualdade do Teorema, temos que:

∫ 1 2 y - 2 + 5 y 4   d y = 63 2 + C - C .  

Dessa forma, a integral procurada vale

∫ 1 2 y + 5 y 7 y 3 d y = ∫ 1 2 y - 2 + 5 y 4   d y = 63 2 .

Resposta

A integral vale:

∫ 1 2 y + 5 y 7 y 3 d y = 63 2 .

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