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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 27

Calcule a integral.

∫ 1 4 t 1 + t d t

Passo 1

Oie, vamos resolver essa questão!

Queremos calcular a integral definida

∫ 1 4 t 1 + t d t .

✏️ Anota aí: O intervalo de integração [ a ,   b ] é igual a [ 1 ,   4 ] e o integrando é a função

f t =   t 1 + t ,

ou seja,

f t = t 1 2 + t 3 2 .

Reescrever o integrando dessa forma vai facilitar o nosso trabalho, beleza 😉?

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f t d t = ∫ f t d t ] a b

    onde ∫ f t d t é a primitiva da função f , ou seja,

    d d t ∫ f ( t ) d t   = f t .

  • A integral indefinida de uma soma de funções é a soma das integrais indefinidas de cada uma das funções.

∫ f t + g t d t =   ∫ f t d t +   ∫ g ( t ) d t .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função t n é a função

∫ t n   d t = t n + 1 n + 1 + B ,

onde B é uma constante qualquer.

Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!

👀 Nos próximos passos, vamos encontrar a integral indefinida da função f e obter o seu valor nos extremos do intervalo [ 1 ,   4 ] .

Bora lá!

Passo 2

Começamos encontrando a integral indefinida

∫ t 1 2 + t 3 2   d t .

Para isso, usamos as propriedades das integrais indefinidas dadas no Passo 1 .

Logo,

∫ t 1 2 + t 3 2   d t = ∫ t 1 2   d t + ∫ t 3 2 d t .

Usando a Regra da Potência em cada um dos termos, temos que

∫ t 1 2 + t 3 2   d t = 2 t 3 2 3 + 2 t 5 2 5 + C .

Observe que derivando a expressão que encontramos, temos que:

d d t 2 t 3 2 3 + 2 t 5 2 5 + C = t 1 2 + t 3 2 = f ( t ) ,

então encontramos a integral indefinida (primitiva) de f certinha 🎉!

Passo 3

Agora, só precisamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental. Lembrando que o nosso intervalo de integração é [ 1 ,   4 ] , temos:

∫ 1 4 t 1 2 + t 3 2 d t =   ∫ t 1 2 + t 3 2   d t ] 1 4 .

Como no Passo anterior encontramos que

∫ t 1 2 + t 3 2   d t = 2 t 3 2 3 + 2 t 5 2 5 + C ,

então calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:

Em t =   4

∫ t 1 2 + t 3 2   d t ​ | t = 4 = 2 ⋅ 4 3 2 3 + 2 ⋅ 4 5 2 5 + C ,

ou seja,

∫ t 1 2 + t 3 2   d t ​ | t = 4 = 16 3 + 64 5 + C .

Logo,

∫ t 1 2 + t 3 2   d t ​ | t = 4 = 272 15 + C .

Em t = 1

∫ t 1 2 + t 3 2   d t ​ | t = 1 = 2 ⋅ 1 3 2 3 + 2 ⋅ 1 5 2 5 + C ,

ou seja,

∫ t 1 2 + t 3 2   d t ​ | t = 1 = 16 15 + C .

Substituindo os valores encontrados na igualdade do Teorema, temos que:

∫ 1 4 t 1 2 + t 3 2 d t = 272 15 + C - 16 15 + C .  

Dessa forma, a integral procurada vale

∫ 1 4 t 1 + t d t = ∫ 1 4 t 1 2 + t 3 2 d t = 256 15 .

Resposta

A integral vale:

∫ 1 4 t 1 + t d t = 256 15 .

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