Calcule a integral:

∫ t sen ⁡ 2 t d t

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

d v = sen ⁡ 2 t d t v =   ? u = t d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = sen ⁡ 2 t d t v = ∫ sen ⁡ 2 t d t = - cos ⁡ 2 t 2 + C u = t d u =   1 d t

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ t ⏟ u sen ⁡ 2 t d t ⏟ d v = t ⏟ u - cos ⁡ 2 t 2 ⏟ v - ∫ - cos ⁡ 2 t 2 ⏟ v 1 d t ⏟ d u

∫ t sen ⁡ 2 t d t = - t cos ⁡ 2 t 2 + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 t d t = - t cos ⁡ 2 t 2 + 1 2 sen ⁡ 2 t 2 + C

∫ t sen ⁡ 2 t d t = - t cos ⁡ 2 t 2 + sen ⁡ 2 t 4 + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

∫ t sen ⁡ 2 t d t = - t cos ⁡ 2 t 2 + sen ⁡ 2 t 4 + C

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