Calcule a integral.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:

∫ t 4 ln ⁡ t d t

Como sabemos que essa seção do livro aborda integrais por partes, devemos primeiro nos lembrar da fórmula para integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Agora, outra coisa muito importante é saber qual termo da integral em análise chamaremos de u e qual será o d v , para isso, vamos sempre recorrer a uma regra básica para selecionar o termo u , sendo que o d v será o restante da expressão. A regra diz que devemos seguir a seguinte ordem de funções para selecionar como u :

Logarítma -> Inversa Trigonométrica -> Algébrica -> Trigonométrica -> Exponencial

Obedecendo essa regra, não perdemos tempo selecionando o u errado, e resolvendo toda a integral para somente no final perceber que praticamente não saímos do lugar.

Passo 2

Então, para esse exercício, recorrendo a regrinha do passo 1, teremos:

u = ln ⁡ t ; d v = t 4 d t

Agora, calculando d u e v :

u = ln ⁡ t → d u = 1 t d t

d v = t 4 d t → v = 1 5 t 5

Agora podemos substituir esses valores na fórmula da integração por partes:

∫ t 4 ln ⁡ t d t = ln ⁡ t 1 5 t 5 - ∫ 1 5 t 5 1 t d t

Reescrevendo a expressão, temos:

∫ t 4 ln ⁡ t d t = ln ⁡ t 1 5 t 5 - 1 5 ∫ t 4 d t

Passo 3

Então resolvendo a integral obtida no passo 2, temos:

∫ t 4 ln ⁡ t d t = ln ⁡ t 1 5 t 5 - 1 5 ∫ t 4 d t

∫ t 4 ln ⁡ t d t = ln ⁡ t 1 5 t 5 - 1 5 1 5 t 5 + C

Então o resultado será:

∫ t 4 ln ⁡ t d t = ln ⁡ t 1 5 t 5 - 1 25 t 5 + C

Resposta

∫ t 4 ln ⁡ t d t = ln ⁡ t 1 5 t 5 - 1 25 t 5 + C

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