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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 11

Calcule a integral.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:

int t^4 ln t d t

Como sabemos que essa seção do livro aborda integrais por partes, devemos primeiro nos lembrar da fórmula para integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Agora, outra coisa muito importante é saber qual termo da integral em análise chamaremos de u e qual será o d v , para isso, vamos sempre recorrer a uma regra básica para selecionar o termo u , sendo que o d v será o restante da expressão. A regra diz que devemos seguir a seguinte ordem de funções para selecionar como u :

Logarítma -> Inversa Trigonométrica -> Algébrica -> Trigonométrica -> Exponencial

Obedecendo essa regra, não perdemos tempo selecionando o u errado, e resolvendo toda a integral para somente no final perceber que praticamente não saímos do lugar.

Passo 2

Então, para esse exercício, recorrendo a regrinha do passo 1, teremos:

u = ln t ; d v = t^4 d t

Agora, calculando d u e v :

u = ln t -> d u = (1)/(t) d t

d v = t^4 d t -> v = (1)/(5) t^5

Agora podemos substituir esses valores na fórmula da integração por partes:

int t^4 ln t d t = ln t ((1)/(5) t^5) - int (1)/(5) t^5 ((1)/(t) d t)

Reescrevendo a expressão, temos:

int t^4 ln t d t = ln t ((1)/(5) t^5) - (1)/(5) int t^4 d t

Passo 3

Então resolvendo a integral obtida no passo 2, temos:

int t^4 ln t d t = ln t ((1)/(5) t^5) - (1)/(5) int t^4 d t

int t^4 ln t d t = ln t ((1)/(5) t^5) - (1)/(5) ((1)/(5) t^5 + C)

Então o resultado será:

int t^4 ln t d t = ln t ((1)/(5) t^5) - (1)/(25) t^5 + C

Resposta

int t^4 ln t d t = ln t ((1)/(5) t^5) - (1)/(25) t^5 + C

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