Enunciado

Calcule a integral   ∫ ( ln ⁡ x ) 3 x d x   . Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Nessa questão usaremos o método da substituição.

Passo 2

Vamos simplificar a equação usando substituição:

w = ln ⁡ x

d w = ( ln ⁡ x ) '   d x

d w = 1 x   d x

    ∫ ( ln ⁡ x ) 3 x d x =       ∫ ( ln ⁡ x ) 3 . 1 x d x

=     ∫ w 3 d w

= w 3 + 1     3 + 1

= w 4     4

Passo 3

Substituir w por ln ⁡ x

= w 4     4

= ( ln ⁡ x ) 4     4

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ ( ln ⁡ x ) 3 x d x = ( ln ⁡ x ) 4     4

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