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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 31

Calcule a integral   ∫ x . s e c x 2   d x . Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Essa mesma não precisa! Olha aqui comigo:

∫ x sec ⁡ x 2 d x

A gente poderia pensar em integrar por partes, mas nem é necessário. Nós temos um x 2 dentro da secante e um x do lado de fora, certo? Ora, a derivada de x 2 é 2 x ... Podemos usar isso numa substituição simples e cortar os x ’s, não acha?

Passo 2

Então, se fizermos u = x 2 → d u d x = 2 x . E nossa integral ficaria:

∫ x sec ⁡ u d u 2 x

Assim, podemos simplificar os x e:

1 2 ∫ sec ⁡ u d u

Agora, virou apenas uma integral da secante! Normalmente, não é cobrado o desenvolvimento dessa integral, tá?? Podemos usar o valor dela direto. Essa integral vale:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Assim, vamos ter como resposta na nossa integral:

1 2 ∫ sec ⁡ u d u = 1 2 ln ⁡ sec ⁡ u + tan ⁡ u + C

Beleza?? Só falta voltar com o valor de x :

1 2 ln ⁡ sec ⁡ u + tan ⁡ u + C = 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x 2 + tan ⁡ x 2 + C

Prontinho!! Acabou 😊

Obs.: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ x sec ⁡ x 2 d x = 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x 2 + tan ⁡ x 2 + C

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