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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 6

Calcule a integral.

int (x)/(sqrt(3 - x^4)) d x

Passo 1

E aí, pessoal! 😬

A questão pede para calcularmos a integral usando alguma das técnicas de integração estudadas até agora.

int (x)/(sqrt(3 - x^4)) d x

Tem ideia do que temos que fazer? 🤔

Vamos aplicar o método de substituição substituindo a variável de integração uma função...

Vamos fazer u = x^2 de modo que d u = 2 x d x . Assim,

int (x)/(sqrt(3 - x^4)) d x = (1)/(2) int (1)/(sqrt(3 - u^2)) d u

Parece mais fácil assim? 👀

Passo 2

Agora vamos fazer u = sqrt(3) t => d u = sqrt(3) d t . Assim,

(1)/(2) int (1)/(sqrt(3 - u^2)) d u = (sqrt(3))/(2) int (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t

Desta forma, pelo teorema fundamental do cálculo, temos

(sqrt(3))/(2) int (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t = (sqrt(3))/(2) a r c s e n t + C

Passo 3

Voltando a variável u :

(1)/(2) int (1)/(sqrt(3 - u^2)) d u = (sqrt(3))/(2) a r c s e n ((u)/(sqrt(3))) + C

Por fim, na variável x :

int (x)/(sqrt(3 - x^4)) d x = (sqrt(3))/(2) a r c s e n ((x^2)/(sqrt(3))) + C

E aí! o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

(sqrt(3))/(2) a r c s e n ((x^2)/(sqrt(3))) + C

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