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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 24

Calcule a integral.

2 4 . int_0^1 sqrt(x - x^2) d x

Passo 1

Primeiro, antes de resolver a integral, vamos mexer no integrando:

x - x^2

Você concorda comigo que:

(1)/(4) - (x + (1)/(2))^2 = x - x^2

O que fizemos foi completar quadrado.

Nossa integral então fica assim:

int_0^1 sqrt((1)/(4) - (x + (1)/(2))^2) d x

Passo 2

Agora vamos fazer uma substituição simples, só para integral ficar com uma cara conhecida, vamos fazer o seguinte:

u = x - (1)/(2)

d u = d x

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

u_1 = 0 - (1)/(2) = - (1)/(2)

u_2 = 1 - (1)/(2) = (1)/(2)

Passo 3

Realizando a substituição a nossa integral fica:

int_(- (1)/(2))^((1)/(2)) sqrt((1)/(4) - u^2) d u

Agora podemos fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção 3 , do tipo:

u = (1)/(2) sin theta

=> theta = sin^(- 1) (2 u)

d u = (1)/(2) cos theta d theta

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

theta_1 = sin^(- 1) (- 1) = - (pi)/(2)

theta_2 = sin^(- 1) (1) = (pi)/(2)

Passo 4

Realizando a substituição a nossa integral fica:

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (1)/(2) cos theta sqrt((1)/(4) - ((1)/(2) sin theta)^2) d theta

= int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (1)/(2) cos theta sqrt((1)/(4) - (1)/(4) sin^2 theta) d theta

= int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (1)/(4) cos theta sqrt(1 - sin^2 theta) d theta

Lembrando que:

cos^2 theta = 1 - sin^2 theta

Logo, temos que:

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (1)/(4) cos theta sqrt(cos^2 theta) d theta

= (1)/(4) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) cos theta cos theta d theta

= (1)/(4) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) cos^2 theta d theta

Passo 5

Para continuar nossa integração, temos que modificar nosso integrando, vamos fazer isso com a seguinte propriedade:

cos^2 theta = (1)/(2) + (cos 2 theta)/(2)

Então temos que:

(1)/(4) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) ((1)/(2) + (cos 2 theta)/(2)) d theta

= (1)/(4) (int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (1)/(2) d theta + int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (cos 2 theta)/(2) d theta)

Continuando nossa integração.

(1)/(4) ((1)/(2) ((theta)|_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) + (1)/(2) (((sin 2 theta)/(2))|_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)))

= (1)/(4) ((1)/(2) ((pi)/(2) - (- (pi)/(2))) + (1)/(4) (sin pi - sin - pi))

= (1)/(8) ((2 pi)/(2)) = (pi)/(8)

Resposta

int_0^1 sqrt(x - x^2) d x = (pi)/(8)

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