Calcule a integral.

2 4 . ∫ 0 1 x - x 2   d x

Passo 1

Primeiro, antes de resolver a integral, vamos mexer no integrando:

x - x 2

Você concorda comigo que:

1 4 - x + 1 2 2 = x - x 2

O que fizemos foi completar quadrado.

Nossa integral então fica assim:

∫ 0 1 1 4 - x + 1 2 2   d x

Passo 2

Agora vamos fazer uma substituição simples, só para integral ficar com uma cara conhecida, vamos fazer o seguinte:

u = x - 1 2

d u = d x

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

u 1 = 0 - 1 2 = - 1 2

u 2 = 1 - 1 2 = 1 2

Passo 3

Realizando a substituição a nossa integral fica:

∫ - 1 2 1 2 1 4 - u 2   d u

Agora podemos fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção 3 , do tipo:

u = 1 2 sin ⁡ θ

⇒ θ = sin - 1 ⁡ 2 u

d u = 1 2 cos ⁡ θ d θ

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

θ 1 = sin - 1 ⁡ - 1 = - π 2

θ 2 = sin - 1 ⁡ 1 = π 2

Passo 4

Realizando a substituição a nossa integral fica:

∫ - π 2 π 2 1 2 cos ⁡ θ 1 4 - 1 2 sin ⁡ θ 2   d θ

= ∫ - π 2 π 2 1 2 cos ⁡ θ 1 4 - 1 4 sin 2 ⁡ θ   d θ

= ∫ - π 2 π 2 1 4 cos ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ   d θ

Lembrando que:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Logo, temos que:

∫ - π 2 π 2 1 4 cos ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ

= 1 4 ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ   d θ

= 1 4 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ

Passo 5

Para continuar nossa integração, temos que modificar nosso integrando, vamos fazer isso com a seguinte propriedade:

cos 2 ⁡ θ = 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2

Então temos que:

1 4 ∫ - π 2 π 2 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2   d θ

= 1 4 ∫ - π 2 π 2 1 2   d θ + ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ 2 θ 2   d θ

Continuando nossa integração.

1 4 1 2 θ - π 2 π 2 + 1 2 sin ⁡ 2 θ 2 - π 2 π 2

= 1 4 1 2 π 2 - - π 2 + 1 4 sin ⁡ π - sin ⁡ - π

= 1 8 2 π 2   = π 8

Resposta

∫ 0 1 x - x 2   d x = π 8

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