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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 32

Calcule a integral.

int_1^2 ((ln x)^2)/(x^3) d x

Passo 1

Faala ae, beleza??

Precisamos resolver a integral usando integração por partes! Relembrando a técnica, temos que:

int u d v = u v - int v d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Dessa forma u = (ln x)^2 :

d u = 2 ln x * (1)/(x) d x = 2 (ln x)/(x) d x

Fazendo d v = d x // x^(3 ) , temos que:

v = - (1)/(2 x^2)

Assim:

int_()^() ((ln x)^2)/(x^3) d x = - ((ln x)^2)/(2 x^2) + int_()^() (ln x)/(x^3) d x

Opa, para resolver essa outra integral, vamos precisar usar a integração por partes de novo!

Passo 2

Queremos calcular a integral int_()^() (ln x)/(x^3) d x . Para isso, vamos fazer a substituição u = ln x , de modo que d u = d x // x . Além disso, d v = (d x)/(x^3) -> v = - 1 // 2 x^2 . Desta forma, a integral fica

int_()^() (ln x)/(x^3) d x = - (ln x)/(2 x^2) + int_()^() (1)/(2 x^3) d x =

= - (ln x)/(2 x^2) + (1)/(2) (- (1)/(2 x^2)) = - (ln x)/(2 x^2) - (1)/(4 x^2)

Passo 3

Agora, é só substituir na integral que a gente tinha no passo 1:

int_()^() ((ln x)^2)/(x^3) d x = - ((ln x)^2)/(2 x^2) + int_()^() (ln x)/(x^3) d x

Substituindo o resultado do passo 2:

int_()^() ((ln x)^2)/(x^3) d x = - ((ln x)^2)/(2 x^2) - (ln x)/(2 x^2) - (1)/(4 x^2)

Por último, vamos substituir os limites de integração:

int_1^2 ((ln x)^2)/(x^3) d x = (- ((ln x)^2)/(2 x^2) - (ln x)/(2 x^2) - (1)/(4 x^2))_1^2

Assim:

int_1^2 ((ln x)^2)/(x^3) d x = (- ((ln 2)^2)/(2 (4)) - (ln 2)/(2 (4)) - (1)/(4 (4)) - (- ((ln 1)^2)/(2 (1)) - (ln 1)/(2 (1)) - (1)/(4 (1))))

int_1^2 ((ln x)^2)/(x^3) d x = (- ((ln 2)^2)/(8) - (ln 2)/(8) - (1)/(16) - (- ((0)^2)/(2 (1)) - (0)/(2 (1)) - (1)/(4)))

int_1^2 ((ln x)^2)/(x^3) d x = (- ((ln 2)^2)/(8) - (ln 2)/(8) - (1)/(16) + (1)/(4))

int_1^2 ((ln x)^2)/(x^3) d x = ((- 2 (ln 2)^2 - 2 ln 2 - 1 + 4)/(16))

int_1^2 ((ln x)^2)/(x^3) d x = (2 ( - (ln 2)^2 - ln 2 ) + 3)/(16)

int_1^2 ((ln x)^2)/(x^3) d x = (2 ( - (ln 2)^2 - ln 2 ))/(16) + (3)/(16)

:.

int_1^2 ((ln x)^2)/(x^3) d x = (- (ln 2)^2 - ln 2)/(8) + (3)/(16)

Pronto!! Ufa, acabou!

Resposta

int_1^2 ((ln x)^2)/(x^3) d x = (- (ln 2)^2 - ln 2)/(8) + (3)/(16)

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