Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 38

Calcule a integral.

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + sen ⁡ θ ⋅ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral definida:

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + sen ⁡ θ ⋅ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ

E primeiramente vamos deixar essa função com uma carinha mais amigável! Porque convenhamos, ela está bem assustadora. E para isso vamos usar trigonometria mesmo:

sec 2 ⁡ θ = 1 + tg 2 ⁡ θ

Agora para calcular a integral devemos calcular primeiro a indefinida para encontrar a primitiva e, depois, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte:

Que a integral definida é tipo medir a área sob a curva de f ( x ) entre dois pontos, digamos a e b . É como calcular o espaço que a função ocupa no gráfico.

Aqui vem o truque! Se você conhece uma antiderivada F ( x ) de f ( x ) , a integral definida de f ( x ) entre a e b é igual a F ( b ) - F ( a ) . Ou seja, a diferença entre os valores da antiderivada nos pontos b e a .

Fica dessa forma:

∫ a b f x d x = F b - F a

Isso somente se entre a e b   a função for contínua, isso é sem buracos, saltos ou quinas.

Lembre-se também que:

∫ sen ⁡ θ   d θ = - cos ⁡ θ + C

E essa é a única primitiva que vamos precisar!

Agora que estamos prontos, bora aplicar!! 😉

Passo 2

Primeiramente, vamos obter a integral indefinida da função. Mas antes, vamos simplificar um pouco a nossa expressão.

Colocando o seno em evidência, temos:

∫ sen ⁡ θ + sen ⁡ θ ⋅ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = ∫ sen ⁡ θ 1 + tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ

Sabemos que sec 2 ⁡ θ = 1 + tg 2 ⁡ θ , logo:

∫ sen ⁡ θ + sen ⁡ θ ⋅ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = ∫ sen ⁡ θ ⋅ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ

Simplificando os termos do numerador e do denominador, temos:

∫ sen ⁡ θ + sen ⁡ θ ⋅ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = ∫ sen ⁡ θ   d θ

Resolvendo a integral indefinida:

∫ sen ⁡ θ + sen ⁡ θ ⋅ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = ∫ sen ⁡ θ   d θ = - cos ⁡ θ + C

E não se esqueça da constante!

Passo 3

Então, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + sen ⁡ θ ⋅ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = - cos ⁡ θ + C π 3 0

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + sen ⁡ θ ⋅ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = - cos ⁡ π 3 + C - - cos ⁡ 0 + C

Faça sempre essa parte com calma e atenção, porque as vezes é um sinalzinho trocado que faz a gente errar!

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + sen ⁡ θ ⋅ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = - 1 2 + 1

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + sen ⁡ θ ⋅ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = 1 2

E agora sim temos nossa integral!

Entendeu certinho? Responde Aí!

Resposta

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + sen ⁡ θ ⋅ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se int_0^1 root(5)(x^2) d x = (5)/(7) Calcular int_1^0 root(5)(t^2) d t
int_0^(2 pi) | s e n x | d x
Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdade: ∫ 0 π s e n x d x ≥ 0
Se int_0^((pi)/(2)) 9 cos^2 t d t = (9 pi)/(4) Calcular int_0^((pi)/(2)) - cos^2 theta d theta
int_1^5 sqrt(2 x - 1) d x