Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 38
Calcule a integral.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral definida:
E primeiramente vamos deixar essa função com uma carinha mais amigável! Porque convenhamos, ela está bem assustadora. E para isso vamos usar trigonometria mesmo:
Agora para calcular a integral devemos calcular primeiro a indefinida para encontrar a primitiva e, depois, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte:
Que a integral definida é tipo medir a área sob a curva de entre dois pontos, digamos e . É como calcular o espaço que a função ocupa no gráfico.
Aqui vem o truque! Se você conhece uma antiderivada de , a integral definida de entre e é igual a . Ou seja, a diferença entre os valores da antiderivada nos pontos e .
Fica dessa forma:
Isso somente se entre e a função for contínua, isso é sem buracos, saltos ou quinas.
Lembre-se também que:
E essa é a única primitiva que vamos precisar!
Agora que estamos prontos, bora aplicar!! 😉
Passo 2
Primeiramente, vamos obter a integral indefinida da função. Mas antes, vamos simplificar um pouco a nossa expressão.
Colocando o seno em evidência, temos:
Sabemos que , logo:
Simplificando os termos do numerador e do denominador, temos:
Resolvendo a integral indefinida:
E não se esqueça da constante!
Passo 3
Então, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
Faça sempre essa parte com calma e atenção, porque as vezes é um sinalzinho trocado que faz a gente errar!
E agora sim temos nossa integral!
Entendeu certinho? Responde Aí!
