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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 45

Calcule a integral.

int x^5 e^(- x^3) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição, temos uma exponencial elevada a x^3 , vamos fazer u ser igual a x^3 , vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = x^3

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 3 x^2 d x -> x^2 d x = (d u)/(3)

Fazendo a substituição ficamos com:

int x^5 e^(- x^3) d x = int (u e^(- u))/(3) d u = (1)/(3) int u e^(- u) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos usar Integração por Partes agora:

int f (x) g^' (x) d x = f (x) g (x) - int g (x) f^' (x) d x

Vamos fazer então f (u) = u e g ' (u) = e^(- u) d u :

f^' (u) = d u e g (u) = - e^(- u)

Vamos substituir agora:

int u e^(- u) d u = - u e^(- u) - int - e^(- u) d u = - u e^(- u) + int e^(- u) d u

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int e^x d x = e^x + C

Então ficamos com:

int e^(- u) d u = - e^(- u) + C

Juntando:

int u e^(- u) d u = - u e^(- u) + int e^(- u) d u = - u e^(- u) - e^(- u) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int u e^(- u) d u = - u e^(- u) - e^(- u) + C = - x^3 e^(- x^3) - e^(- x^3) + C

Agora vamos voltar a expressão original:

int x^5 e^(- x^3) d x = (1)/(3) int u e^(- u) d u = (1)/(3) (- x^3 e^(- x^3) - e^(- x^3)) + C

Resposta

int x^5 e^(- x^3) d x = (1)/(3) (- x^3 e^(- x^3) - e^(- x^3)) + C

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