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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 29

Calcule a integral.

int_0^1 (y)/(e^(2 y)) d y

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos a seguinte integral:

int_0^1 (y)/(e^(2 y)) d y

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

int u d v = u v - int v d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Mas primeiro vamos reescrever a integral:

int_0^1 (y)/(e^(2 y)) d y = int_0^1 y e^(- 2 y) d y

Chamando u = y e d v = e^(- 2 y) d y , segue que d u = d y e v = - (1)/(2) e^(- 2 y) . Assim,

int_0^1 (y)/(e^(2 y)) d y = - (1)/(2) [y e^(- 2 y)]_0^1 + (1)/(2) int_0^1 e^(- 2 y) d y = - (1)/(2) e^(- 2) + (1)/(2) int_0^1 e^(- 2 y) d y

Passo 2

Calculando a nova integral:

int_0^1 (y)/(e^(2 y)) d y = - (1)/(2 e^2) - (1)/(4) [e^(- 2 y)]_0^1

Passo 3

Assim,

int_0^1 (y)/(e^(2 y)) d y = - (1)/(2 e^2) - (1)/(4) (e^(- 2) - 1) = (1)/(4) - (3)/(4 e^2)

Resposta

(1)/(4) - (3)/(4 e^2)

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