Calcule a integral.

∫ 0 1 y e 2 y   d y

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos a seguinte integral:

∫ 0 1 y e 2 y   d y

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Mas primeiro vamos reescrever a integral:

∫ 0 1 y e 2 y   d y = ∫ 0 1 y   e - 2 y   d y

Chamando u = y e d v = e - 2 y d y , segue que d u = d y e v = - 1 2 e - 2 y . Assim,

∫ 0 1 y e 2 y   d y = - 1 2 y e - 2 y 0 1 + 1 2 ∫ 0 1 e - 2 y   d y = - 1 2 e - 2 + 1 2 ∫ 0 1 e - 2 y   d y

Passo 2

Calculando a nova integral:

∫ 0 1 y e 2 y   d y = - 1 2 e 2 - 1 4 e - 2 y 0 1

Passo 3

Assim,

∫ 0 1 y e 2 y   d y = - 1 2 e 2 - 1 4 e - 2 - 1 = 1 4 - 3 4 e 2

Resposta

1 4 - 3 4 e 2

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