1. Determine A , B , C , D tais que
  2. (x - 3) / ((x - 1)^2 \* (x + 2)^2) = A / (x - 1) + B / (x - 1)^2 + C / (x + 2) + D / (x + 2)^2

  3. Calcule ∫ x - 3 x - 1 2 x + 2 2 d x .

Passo 1

  1. Vamos achar os valores de A , B , C e D , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x + 2 x - 1 2 :
  2. x - 3 = A x - 1 x + 2 2 + B x + 2 2 + C x - 1 2 x + 2 + D x - 1 2

    Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

    x - 3 = A x - 1 x + 2 2 + B x + 2 2 + C x - 1 2 x + 2 + D x - 1 2

    x - 3 = A x - 1 x 2 + 4 x + 4 + B x 2 + 4 x + 4 + C x 2 - 2 x + 1 x + 2 + D x 2 - 2 x + 1

    x - 3 = A x 3 + 4 x 2 + 4 x - x 2 - 4 x - 4 + B x 2 + 4 B x + 4 B + C x 3 - 2 x 2 + x + 2 x 2 - 4 x + 2 + D x 2 - 2 D x + D

    x - 3 = A x 3 + 3 x 2 - 4 + B x 2 + 4 B x + 4 B + C x 3 - 3 x + 2 + D x 2 - 2 D x + D

    x - 3 = A x 3 + 3 A x 2 - 4 A + B x 2 + 4 B x + 4 B + C x 3 - 3 C x + 2 C + D x 2 - 2 D x + D

    x - 3 = x 3 A + C + x 2 3 A + B + D + x 4 B - 3 C - 2 D + - 4 A + 4 B + 2 C + D

    Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x 3 , x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

    A + C = 0 → A = - C 3 A + B + D = 0 4 B - 3 C - 2 D = 1 - 4 A + 4 B + 2 C + D = - 3

    Usando o A isolado na primeira e substituindo nas outras, ficamos com:

    A = - C - 3 C + B + D = 0 4 B - 3 C - 2 D = 1 + 4 C + 4 B + 2 C + D = - 3 → 6 C + 4 B + D = - 3 → A = - C B - 3 C + D = 0 4 B - 3 C - 2 D = 1 4 B + 6 C + D = - 3

    Agora vamos somar as três últimas:

    9 B = - 2 → B = - 2 9

    Multiplicando a segunda por - 1 e somando com a terceira:

    3 B - 3 D = 1 → 3 D = 3 - 2 9 - 1 → 3 D = - 2 3 - 1 → 3 D = - 5 3 → D = - 5 9

    Agora vamos substituir o valor de B E D na segunda:

    - 2 9 - 3 C - 5 9 = 0 → 3 C = - 7 9 → C = - 7 27

    Por último, para achar o valor de A :

    A = - C = - - 7 27 = 7 27

    Pronto, achamos os valores de A , B , C e D .

    Passo 2

  3. Para calcular a integral vamos usar as frações parciais que achamos no passo anterior:

∫ x - 3 x - 1 2 x + 2 2 d x = ∫ 7 27 x - 1 + - 2 9 x - 1 2 + - 7 27 x + 2 + - 5 9 x + 2 2 d x = ∫ 7 27 x - 1 - 2 9 x - 1 2 - 7 27 x + 2 - 5 9 x + 2 2 d x = ∫ 7 27 x - 1 d x + ∫ - 2 9 x - 1 2 d x + ∫ - 7 27 x + 2 d x + ∫ - 5 9 x + 2 2 d x

Pronto, agora vamos resolver as quatro integrais separadamente.

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 7 27 x - 1 d x = 7 27 ∫ 1 x - 1 d x = 7 27 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

7 27 ∫ 1 u d u = 7 27 ln ⁡ u + C

Passo 2

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição também:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 2 9 x - 1 2 d x = - 2 9 ∫ 1 x - 1 2 d x = - 2 9 ∫ 1 v 2 d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

- 2 9 ∫ 1 v 2 d v = - 2 9 ∫ v - 2 d v = - 2 9 ⋅ v - 2 + 1 - 2 + 1 + C = - 2 9 ⋅ v - 1 - 1 + C = 2 9 v + C

Passo 3

E com a terceira vamos usar a Regra da Substituição também:

t = x + 2

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 7 27 x + 2 d x = - 7 27 ∫ 1 x + 2 d x = - 7 27 ∫ 1 t d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 7 27 ∫ 1 t d t = - 7 27 ln ⁡ t + C

Passo 4

Com a última vamos usar a Regra da Substituição também:

r = x + 2

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 5 9 x + 2 2 d x = - 5 9 ∫ 1 x + 2 2 d x = - 5 9 ∫ 1 r 2 d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

- 5 9 ∫ 1 r 2 d r = - 5 9 ∫ r - 2 r = - 5 9 ⋅ r - 2 + 1 - 2 + 1 + C = - 5 9 ⋅ r - 1 - 1 + C = 5 9 r + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

∫ x - 3 x - 1 2 x + 2 2 d x = ∫ 7 27 x - 1 d x + ∫ - 2 9 x - 1 2 d x + ∫ - 7 27 x + 2 d x + ∫ - 5 9 x + 2 2 d x = 7 27 ln ⁡ u + 2 9 v - 7 27 ln ⁡ t + 5 9 r + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x - 3 x - 1 2 x + 2 2 d x = 7 27 ln ⁡ u + 2 9 v - 7 27 ln ⁡ t + 5 9 r + C = 7 27 ln ⁡ x - 1 + 2 9 x - 1 - 7 27 ln ⁡ x + 2 + 5 9 x + 2 + C

Resposta

∫ x - 3 x - 1 2 x + 2 2 d x = - 2 ln ⁡ x + 2 3 ln ⁡ x - 2 + 4 3 ln ⁡ x + 1 + C

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