Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.6 - Ex. 1e
Calcule.
Passo 1
Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais, para isso vamos achar as raízes do denominador.
Sabemos que é raiz, pois , vamos então fazer a divisão de por :
Vamos agora achar as raízes de usando Bhaskara:
Temos então:
Assim ficamos com:
Substituindo na integral:
Passo 2
Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:
Vamos achar os valores de , e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Agora vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:
Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de e de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Substituindo o valor de na primeira:
Substituindo o valor de e na terceira temos:
Assim achamos os valores de e :
Pronto, achamos os valores de , e , vamos agora substituir de volta na integral:
Passo 3
Pronto, agora vamos resolver as três integrais separadamente.
Vamos usar a Regra da Substituição em cada uma, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um no denominador, podemos então usar a mudança de variável:
Na primeira:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Passo 4
Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição também:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Aplicando:
Passo 5
Com a última vamos usar a Regra da Substituição também:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Aplicando:
Passo 6
Agora é só juntar tudo:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo: