Calcule.

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, e alguns dos fatores são repetidos, vamos então usar a seguinte fórmula:

x 2 + 1 x - 2 3 = A x - 2 + B x - 2 2 + C x - 2 3

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 2 3 :

x - 2 3 x 2 + 1 x - 2 3 = A x - 2 3 x - 2 + B x - 2 3 x - 2 2 + C x - 2 3 x - 2 3

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x 2 + 1 = A x - 2 2 + B x - 2 + C

x 2 + 1 = A x 2 - 4 x + 4 + B x - 2 B + C

x 2 + 1 = A x 2 - 4 A x + 4 A + B x - 2 B + C

x 2 + 1 = x 2 A + x - 4 A + B + 4 A - 2 B + C

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A = 1 - 4 A + B = 0 4 A - 2 B + C = 1

Substituindo o valor de A na segunda:

A = 1 - 4 A + B = 0 → B = 4 A = 4 4 A - 2 B + C = 1

Substituindo o valor de A e B na terceira temos:

A = 1 B = 4 4 A - 2 B + C = 1 → C = 1 - 4 A + 2 B = 1 - 4 + 2 ⋅ 4 = 5

Passo 2

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = ∫ 1 x - 2 + 4 x - 2 2 + 5 x - 2 3 d x = ∫ 1 x - 2 d x + ∫ 4 x - 2 2 d x + ∫ 5 x - 2 3 d x

Pronto, agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Vamos usar a Regra da Substituição em cada uma, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

Na primeira:

u = x - 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x - 2 d x = ∫ 1 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Passo 3

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição também:

v = x - 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 4 x - 2 2 d x = 4 ∫ 1 x - 2 2 d x = 4 ∫ 1 v 2 d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

4 ∫ 1 v 2 d v = 4 ∫ v - 2 d v = 4 v - 2 + 1 - 2 + 1 + C = 4 v - 1 - 1 + C = - 4 v + C

Passo 4

Com a última vamos usar a Regra da Substituição também:

t = x - 2

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 5 x - 2 3 d x = 5 ∫ 1 x - 2 3 d x = 5 ∫ 1 t 3 d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

5 ∫ 1 t 3 d t = 5 ∫ t - 3 d t = 5 ⋅ t - 3 + 1 - 3 + 1 + C = 5 ⋅ t - 2 - 2 + C = - 5 2 t 2 + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = ∫ 1 x - 2 d x + ∫ 4 x - 2 2 d x + ∫ 5 x - 2 3 d x = ln ⁡ u - 4 v - 5 2 t 2 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = ln ⁡ u - 4 v - 5 2 t 2 + C = ln ⁡ x - 2 - 4 x - 2 - 5 2 x - 2 2 + C

Resposta

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = ln ⁡ x - 2 - 4 x - 2 - 5 2 x - 2 2 + C

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